Integration einer Funktion, die sich selbst aufruft

10.06.2020, 16:17	SSil	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration einer Funktion, die sich selbst aufruft Hallo liebe Forenmitglieder, ich möchte folgende Formel berechnen bzw. dazu das Integral auf der rechten Seite integrieren: $\begin{eqnarray} a(t) = a(t=0) - Konstante \int_{0}^{t}\sqrt{a(\bar{t})}(1-c(x,\bar{t}))\:d\bar{t} \end{eqnarray}$ , (1) wobei $\begin{eqnarray} a(t) \end{eqnarray}$ die Oberfläche eines Partikel zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a(t=0) \end{eqnarray}$ die Oberfläche des Partikels zum Startzeitpunkt $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ , welche bekannt ist, und $\begin{eqnarray} c(x,\bar{t}) \end{eqnarray}$ die Konzentration am Ort $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} \bar{t} \end{eqnarray}$ , welche ebenfalls bekannt ist, beschreibt. Ich habe die Formel gegeben, weiß aber nicht, wie ich sie richtig interpretieren soll. Für mich würde die Formel nur Sinn machen, wenn $\begin{eqnarray} \bar{t}= t-1 \end{eqnarray}$ . Wenn mir das jemand kurz bestätigen könnte, würde mir das wirklich weiterhelfen. Auf der anderen Seite kann ich mich noch daran erinnern, das gestrichene Variablen in der Mathematik dazu verwendet werden, um den mathematischen Konventionen gerecht zu werden. Wenn das der Fall ist, würde ein Elefant im mathematischen Porzellanladen wie ich, die Formel folgendermaßen interpretieren $\begin{eqnarray} a(t) = a(t=0) - Konstante \int_{0}^{t}\sqrt{a(t)}(1-c(x,t))\:dt \end{eqnarray}$ . (2) In diesem Fall wüsste ich aber nicht, wie ich Formel (2) berechnen sollte. Für mich sieht das aus wie eine unendliche "Rekursion". Wenn ihr mich da in die richtige Richtung weisen könntet, wäre ich euch sehr dankbar. Viele Grüße SSil
10.06.2020, 16:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Leite formal mal beide Seiten nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ab, dann erkennst du die Struktur: Es handelt sich um eine Differentialgleichung. Diese kannst du mit üblichen Methoden lösen.
10.06.2020, 16:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzend: Schreibweise (2) trifft man zwar bisweilen an, ist aber eigentlich schlechter Stil: Innerhalb des Integrals ist völlig unklar, ob mit $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ die Integrationsvariable oder die obere Integrationsgrenze gemeint ist. Nein nein, bleib besser bei (1), das ist die saubere Aufschreibvariante!

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