Beweis: Äquivalenz von Vektornormen

11.06.2020, 13:04	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Äquivalenz von Vektornormen Guten Tag, ich bin interessiert an einem Beweis zu Vektornormen. Beweis: $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_{\infty} \leq \|\|x\|\|_2 \leq \sqrt{n}\|\|x\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ Fall 1: $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ Dann folgt direkt $\begin{eqnarray} 0 \leq 0 \leq 0 \end{eqnarray}$ würde ich behaupten Fall 2: $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_{\infty} = 1 \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_{\infty} \leq \|\|x\|\|_2 \leq \sqrt{n}\|\|x\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \leq \|\|x\|\|_2 \leq \sqrt{n} \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, dass ich erstens nicht weis, wie man den Beweis im zweiten Teil korrekt aufschreibt. Außerdem bin ich mir nicht sicher ob $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_{\infty} = 1 \end{eqnarray}$ überhaupt so zulässig ist. Ich muss sagen, dass ich bei den Normen eher an die geometrische Repräsentation z.b. im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ denke. Wenn man dies zeichnet entsprechen die Normen einen, Quadrat ( $\begin{eqnarray} \max_{i = 0,...,n} \|\|x_i\|\| = 1 \end{eqnarray}$ ), Kreis ( $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_2 = \sqrt{x^2+y^2} = 1 \end{eqnarray}$ ) bzw. einem um 90° rotierten Quadrat ( $\begin{eqnarray} \|x\|+\|y\| = 1 \end{eqnarray}$ ) (ich hoffe ihr versteht was ich meine ) Wenn ich aber dieses geometrische Bild im Hinterkopf habe, dann bin ich mir nicht sicher, ob der Beweis so stimmt. Denn alleine im ersten Teil $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_{\infty} \leq \|\|x\|\|_2 \end{eqnarray}$ würde ich eher behaupten, dass dies nicht passt, da das Quadrat größer ist als der Kreis (wenn ich nur die Fläche betrachte). Auf der Anderen Seite, wenn $\begin{eqnarray} \max_{i = 0,...,n} \|\|x_i\|\| = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_2 = \sqrt{x^2+y^2} = 1 \end{eqnarray}$ gilt, würde ich mich dem anschließen. Allgemein bin ich etwas verwirrt, was den Beweis betrifft, und hoffe hier auf etwas Rat zu stoßen
11.06.2020, 13:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Arbeite doch DIREKT mit der Definition dieser Normen: $\begin{eqnarray} \\|x\\|_{\infty} := \max_{i=1,\ldots,n} \|x_i\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \\|x\\|_p := \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n \|x_i\|^p} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1\leq p<\infty \end{eqnarray}$ . Dann ist offenkundig $\begin{eqnarray} \\|x\\|_{\infty}^p = \left( \max_{i=1,\ldots,n} \|x_i\|\right)^p = \max_{i=1,\ldots,n} \|x_i\|^p \leq \sum_{i=1}^n \|x_i\|^p \leq \sum_{i=1}^n \max_{i=1,\ldots,n} \|x_i\|^p = \sum_{i=1}^n \\|x\\|_{\infty}^p = n\cdot \\|x\\|_{\infty}^p \end{eqnarray}$ , dann die $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -te Wurzel ziehen, fertig.
11.06.2020, 13:32	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL, stimmt das würde auch gehen, das würde dann sogar mein nächstes Problem lösen wie man das allgemein für den $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ zeigt. Vielen Dank!

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