Monotonie der Folge (1+(1/n))^n

11.06.2020, 17:02

Bec

Monotonie der Folge (1+(1/n))^n

Meine Frage:
Ich soll beweisen, dass die Folge
$\begin{eqnarray*} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$
monoton steigend ist. Habe dazu schon mehrere Beiträge gelesen aber keinen wirklich zu 100% verstanden. Was ich mitnehmen konnte ist, dass ich die Bernoulli Ungleichung un den Binomischen Lehrsatz dafür brauche.

Meine Ideen:
Ich versuche zu zeigen das folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left( 1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}} \geq 1 \end{eqnarray*}$
Durch umformen komme ich zu:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left( 1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}} &= \left(\frac{(n+1)(n-1)}{n}\right)^n \cdot \frac{n}{n-1}\\ &=\left(n+(-\frac{1}{n})\right)^n \cdot \frac{n}{n-1}\\ &= \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} n^{n-k}(-\frac{1}{n})^k \cdot \frac{n}{n-1} \end{eqnarray*}$
Ist mein Ansatz und die Umformung richtig? Und falls ja wie mache ich ab da weiter?

11.06.2020, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bec
$\begin{eqnarray*} \frac{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left( 1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}} &= \left(\frac{(n+1)(n-1)}{n}\right)^n \cdot \frac{n}{n-1} \end{eqnarray*}$

Schon falsch. Korrigiert bekommt man

$\begin{eqnarray*} \frac{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left( 1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}} &= \left(\frac{(n+1)(n-1)}{n^2}\right)^n \cdot \frac{n}{n-1} = \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \cdot \frac{n}{n-1} \stackrel{!}{\geq} \left(1-n\cdot \frac{1}{n^2}\right) \cdot \frac{n}{n-1} = 1 \end{eqnarray*}$ ,

dabei wird an Stelle $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{\geq} \end{eqnarray*}$ Bernoulli $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ genutzt. Den Binomischen Satz benötigt man in dieser Beweisvariante nicht - vielleicht in einer anderen.

11.06.2020, 17:42

Ulrich Ruhnau

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RE: Monotonie der Folge (1+(1/n))^n
Du solltest mit vollständiger Induktion arbeiten und u.a.

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac 1n\right)^n<\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ zeigen.

11.06.2020, 17:44

Bec

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Ah okay. Erscheint mir auch gleich einfacher. Vielen Dank.

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