Extrema und Extremstellen mit Gleichungsnebenbedingungen

13.06.2020, 12:22

ratloshoch3

Extrema und Extremstellen mit Gleichungsnebenbedingungen

Meine Frage:
Hallo,
ich finde leider absolut keinen Ansatz zur folgenden Fragestellung:

Unter den Punkten (x, y, z) Element von R^3 , die auf der Fläche M:= {(x, y, z)Element von R^3 | 4x^2+3<^2+3z^2+2yz-4x=1} liegen, ermitteln Sie diejenigen mit der kleinste- und großtmöglichen z-Koordinate.

Ich versuche seit geraumer Zeit einen Ansatz zu finden, bin aber weiterhin ratlos? Übersehe ich was? Jemand eine Idee?

Vielen Dank.

Meine Ideen:
Vielleicht jeweils nach x, y, z umstellen, und einsetzen? Bringt einen ja aber nicht weiter?

13.06.2020, 12:53

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema und Extremstellen mit Gleichungsnebenbedingungen
Die definierende Eigenschaft der Menge ist unverständlich. Was heißt <^2 ?

13.06.2020, 13:28

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema und Extremstellen mit Gleichungsnebenbedingungen

Zitat:

Original von ratloshoch3
Ich versuche seit geraumer Zeit einen Ansatz zu finden, bin aber weiterhin ratlos?

Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Das Standardverfahren ist die Methode der Lagrangemultiplikatoren.

Zitat:

Vielleicht jeweils nach x, y, z umstellen, und einsetzen? Bringt einen ja aber nicht weiter?

Nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auflösen und dann das Maximum von $\begin{eqnarray*} z(x,y) \end{eqnarray*}$ suchen, könnte man auch in Betracht ziehen.

13.06.2020, 13:30

ratloshoch3

Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldige,

Ich meinte M:= {(x, y, z)Element von R^3 | 4x^2+3y^2+3z^2+2yz-4x=1} Big Laugh

13.06.2020, 14:17

ratloshoch3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema und Extremstellen mit Gleichungsnebenbedingungen
Wie würdest du mit Lagrange Verfahren einen Ansatz definieren?
Ich finde im Netz nur Beispiele mit direkt gegebenen Funktionen mit Nebenbedingungen.

Hauptfunktion --> x+y+z oder wie?

13.06.2020, 14:27

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extrema und Extremstellen mit Gleichungsnebenbedingungen
Die Hauptfunktion oder Zielfunktion ist doch gegeben. Du hast sie ja selbst genannt. Sie lautet

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=z \end{eqnarray*}$

13.06.2020, 15:03

ratloshoch3

Auf diesen Beitrag antworten »

Also -->

Lagrange Funkitional:

L(x,y,z, Lambda) = z + Lambda * (4x^2+3y^2+3z^2+2yz-4x-1)

Spätestens beim Lambda eliminieren stoße ich da auf ein Problem? Ich checke es gerade leider nicht unglücklich

Lx = Lambda*(8x-4)=0
Ly= Lambda*(6y+2z)=0
Lz= 1+Lambda*(6z+2y)=0
Llambda= 4x^2+3y^2+3z^2+2yz-4x-1=0

13.06.2020, 15:42

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Aus deiner Anmerkung kann ich leider nicht erkennen, wo genau dein Problem liegt. Ich habe auch noch nichts selbst gerechnet. Aber der Weg zur Lösung diese Gleichungssystems scheint mir doch klar vorgezeichnet. In den ersten beiden Gleichungen ist ein Produkt Null. Dazu muss mindestens einer der jeweils beiden Faktoren Null werden. Eine Möglichkeit wäre $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ . Doch das führt in der dritten Gleichung zu $\begin{eqnarray*} 1=0 \end{eqnarray*}$ , scheidet also aus. Also muss der andere Faktor in den ersten beiden Gleichung Null werden. Damit bekommt man aus der ersten Gleichung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und aus der zweiten Gleichung eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Beides in die vierte Gleichung eingesetzt ergibt eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Die löst man. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wird gar nicht benötigt. Wenn man will, kann man aber zum Schluss $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus der dritten Gleichung bestimmen.

14.06.2020, 15:13

ratloshoch3

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.
Ich habe das Ergebnis nun raus Wink

Danke für die Hilfe Freude

14.06.2020, 16:16

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ratloshoch3
Ich habe das Ergebnis nun raus Wink

Das freut mich.

Da es immer Mitleser gibt, ist es für diese hilfreich, wenn man sein Ergebnis auch mitteilt. Die bisherige Rechnung ergibt ja erst mal nur Kandidatenpunkte für lokale Extrema. Hast du auch bewiesen, dass dort wirklich lokale Extrema vorliegen?

Neue Frage »

Antworten »

Extrema und Extremstellen mit Gleichungsnebenbedingungen

Verwandte Themen