Partielle Integration bei Umformung

14.06.2020, 12:25	jungelenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration bei Umformung Meine Frage: Folgendes ist gegeben: $\begin{eqnarray} \frac{\sin \rho}{\rho}=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} e^{i \rho w} d w \end{eqnarray}$ Jetzt wird angegeben dass bei den folgenden Umformungen partielle Integration verwendet wird: $\begin{eqnarray} \begin{aligned}<br /> \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho} \int_{-1}^{1} e^{i \rho w} d w &=\frac{i}{\rho} \int_{-1}^{1} w e^{i \rho w} d w=\frac{i}{2 \rho} \int_{-1}^{1} e^{i \rho w} d\left(w^{2}-1\right) \\<br /> &=-\frac{i}{2 \rho} \int_{-1}^{1}\left(w^{2}-1\right) d\left(e^{i \rho w}\right)=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1}\left(w^{2}-1\right) e^{i \rho w} d w<br /> \end{aligned} \end{eqnarray}$ Inwiefern ist das partielle Integration, hier wird doch nur abgeleitet und dx umgeformt? Und wie kommt man vom dritten Term auf den vierten Term? Meine Ideen: Wird hier nicht einfach abgeleitet und dx umgeformt?
14.06.2020, 13:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim dritten Gleichheitszeichen wird bestimmt partiell integriert. $\begin{align} w \end{align}$ wird als Ableitung von $\begin{align} \frac{1}{2} \left( w^2 - 1 \right) \end{align}$ gedeutet. Oder anders herum: Man nimmt für die partielle Integration $\begin{align} \frac{1}{2} \left( w^2 - 1 \right) \end{align}$ als Stammfunktion von $\begin{align} w \end{align}$ . Beim Einsetzen von $\begin{align} w=1 \end{align}$ und $\begin{align} w=-1 \end{align}$ verschwindet dieser Ausdruck allerdings, so daß nur noch das Integral verbleibt.
14.06.2020, 13:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich lautet die allgemeine Regel der partiellen Integration $\begin{eqnarray} \int_a^b u\tfrac{dv}{dx}\,dx=\underbrace{uv\|_a^b}_{\text{Randterm}}-\int_a^b v\tfrac{du}{dx}\,dx \end{eqnarray}$ Indem man darin setzt $\begin{eqnarray} \tfrac{du}{dx}dx=du \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{dv}{dx}dx=dv \end{eqnarray}$ , wird daraus folgende allgemeine Formel (in der kein x mehr vorkommt) $\begin{eqnarray} \int_a^b u\,dv=\underbrace{uv\|_a^b}_{\text{Randterm}}-\int_a^b v\,du \end{eqnarray}$ In deinem Integral lauten die beteiligten Funktionen $\begin{eqnarray} u=e^{iw\rho} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=w^2-1 \end{eqnarray}$ . Wegen der Integrationsgrenzen a=-1 und b=+1 verschwindet der Randterm an beiden Grenzen -1 und +1. Übrig bleibt $\begin{eqnarray} \int_{-1}^{+1} \underbrace{e^{iw\rho}}_u\,\underbrace{d(w^2-1)}_{dv}=\overbrace{[\underbrace{e^{iw\rho}}_u\underbrace{(w^2-1)}_{v}]\|_{-1}^{+1}}^{\text{verschwindet}}-\int_{-1}^{+1} \underbrace{(w^2-1)}_v\,\underbrace{d(e^{iw\rho})}_{du} \end{eqnarray}$
14.06.2020, 13:22	jungelenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Integration bei Umformung Achso jetzt ist es klar, sehr erhellend danke.

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