Transformationsformel und Schwerpunktberechnung

14.06.2020, 17:47	Homba	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsformel und Schwerpunktberechnung Meine Frage: Hallo liebes Matheboard, ich sitze gerade an einer Aufgabe und weis nicht wirklich weiter: Berechnen Sie den Schwerpunkt der Menge D, die von dem Paraboloid $\begin{eqnarray} z= 3-x^{3}- y^{2} \end{eqnarray}$ und der Ebene z=0 begrenzt wird. Meine Ideen: also die Transformationsformel lautet ja im allgemeinen; $\begin{eqnarray} \int_{E}^{} \! g(y) \, dy = \int_{D}^{} \! f(x)\| det(J(x))\| \, dx \end{eqnarray}$ und ich denke ich benötige für die Berechnung der Integrale Zylinderkoordinaten , allerdings verstehe ich nicht wirklich wie ich hierbei Anfangen soll da ich bei der Situation mit dem Paraboloiden nicht wirklich durchsteige hätte jemand vielleicht Hinweise für mich?
14.06.2020, 19:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]51504[/attach] Aus Symmetriegründen muß der Schwerpunkt $\begin{align} S = \left( x_S,y_S,z_S \right) \end{align}$ auf der $\begin{align} z \end{align}$ -Achse liegen. Damit ist schon einmal klar: $\begin{align} x_S = y_S =0 \end{align}$ . Für seine $\begin{align} z \end{align}$ -Koordinate gilt: $\begin{align} z_S = \frac{1}{\mu(B)} \int_B z ~ \dd (x,y,z) \end{align}$ Hierbei ist (siehe Zeichnung) $\begin{align} B: \ 0 \leq z \leq 3 \, , \ \ x^2 + y^2 \leq 3-z \end{align}$ der beschriebene dreidimensionale Paraboloid-Bereich und $\begin{align} \mu(B) \end{align}$ sein Volumen: $\begin{align} \mu(B) = \int_B \dd (x,y,z) \end{align}$ Beachte, daß, wenn man $\begin{align} z \end{align}$ als Parameter auffaßt, in der $\begin{align} (x,y) \end{align}$ -Ebene durch $\begin{align} x^2 + y^2 \leq 3-z \end{align}$ ein Kreis vom Radius $\begin{align} r = \sqrt{3-z} \end{align}$ beschrieben wird. Sein Flächeninhalt ist bekanntlich $\begin{align} \pi r^2 \end{align}$ . Das ausnutzend geht es mit dem Integrieren schneller.
14.06.2020, 22:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die Aufgabe wie folgt auf Schulmathematik zurückführen: In der Skizze von LEOPOLD entsteht der Paraboloid durch Drehung der Parabel z=3-x² um die z-Achse. Die Rechnung wird einfacher, wenn man den Paraboloid um den Koordinatenursprung um 90° nach rechts dreht. Mathematisch bedeutet das, dass man die inverse Funktion $\begin{eqnarray} z=\sqrt {3-x} \end{eqnarray}$ um die x-Achse rotieren lässt. Wie gesagt entsteht so der gleiche Paraboloid - allerdings um 90° gedreht mit der x-Achse als Drehachse. Der Vorteil ist, dass man nun die bekannte Volumenformel für rotationssymmetrische Körper anwenden kann. Die gesuchte x-Koordinate (vormals z-Koordinate) des Schwerpunktes lautet demnach $\begin{eqnarray} x_s=\frac{\int_0^3 x\cdot z^2\pi\,dx}{\int_0^3 z^2\pi\,dx} \end{eqnarray}$ Darin setzt man anstelle der Variablen z die oben genannte inverse Funktion $\begin{eqnarray} z=\sqrt {3-x} \end{eqnarray}$ ein und erhält nach Kürzen von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_s=\frac{\int_0^3 x\cdot (3-x)\,dx}{\int_0^3 (3-x)\,dx} \end{eqnarray}$ Das rechne aus! Wegen der Drehung des Paraboloides entspricht der berechnete Wert $\begin{eqnarray} x_s \end{eqnarray}$ dem ursprünglich gesuchten $\begin{eqnarray} z_s \end{eqnarray}$
19.06.2020, 23:11	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transformationsformel und Schwerpunktberechnung Die obigen Wege beruhen auf der Idee, jeden $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ - (oder gedreht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -)Wert zu gewichten mit dem ihn umgebenden differentiellen Zylindervolumen. Um die Transformationsformel beizubehalten, ist auch folgende Idee möglich: Das Volumen ist eingeschlossen von dem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ um den Ursprung in der x-y-Ebene und der Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=3-x^{2}-y^{2} \end{eqnarray}$ . Über jeder Stelle $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ des Grundkreises befindet sich ein differentielles Quadervolumen, dessen Schwerpunkt auf halber Höhe zwischen Grundkreis und Funktion liegt: $\begin{eqnarray} z_{S}(x,y)=\frac{1}{2}f(x,y) \end{eqnarray}$ Im Integral ist also zu gewichten: $\begin{eqnarray} z_{S}=\dfrac{\int_{-\sqrt{3} }^{\sqrt{3} } \! \int_{-\sqrt{3-x^{2}} }^{\sqrt{3-x^{2}} }\! \left[\frac{1}{2}f(x,y) \cdot f(x,y)\right] \, dy \, dx }{\int_{-\sqrt{3} }^{\sqrt{3} } \! \int_{-\sqrt{3-x^{2}} }^{\sqrt{3-x^{2}} }\! f(x,y) \, dy \, dx} \end{eqnarray}$ So sieht das natürlich noch gar nicht schön aus, aber jetzt geht man zu Polarkoordinaten über, dann wird es gleich viel angenehmer. Ob wir wohl noch erfahren, für welche Variante sich Homba entschieden hat?

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