Drehung und Translation einer Bewegung

14.06.2020, 21:30

Malou2016

Drehung und Translation einer Bewegung

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \Sigma:={\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}|\vec{x}^{T}A\vec{x}+\vec{e}^{T}\vec{x}+f=0} \end{eqnarray*}$ , wobei A eine reguläre $\begin{eqnarray*} (det(A)\neq0) \end{eqnarray*}$ symmetrische n x n Matrix, $\begin{eqnarray*} \vec{e}\in\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ ein konstanter Vektor und $\begin{eqnarray*} f\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind.
Zeigen sie, dass eine Drehung $\begin{eqnarray*} R\in\mathbb{R}^{n x n} \end{eqnarray*}$ und eine Translation $\begin{eqnarray*} \vec{c}\in\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray*}$ existieren, sodass die einer Bewegung (Formerhaltende Transformation) entsprechende Substitution $\begin{eqnarray*} \vec{x}=R\vec{\tilde{x}}+\vec{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q(\vec{x})= \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}(\tilde{x}^{i})^{2}+\tilde{f}=:\tilde{Q}(\vec{\tilde{x}}) \end{eqnarray*}$
gibt, womit $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ auch geschrieben werden kann als $\begin{eqnarray*} {\vec{\tilde{x}}\in\mathbb{R}^{n}| \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}(\tilde{x}^{i})^{2}+\tilde{f}=0} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Leider habe ich noch keine konkreten Ansätze...
Ich hoffe trotzdem auf Hilfestellungen.

16.06.2020, 22:34

Malou2016

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RE: Drehung und Translation einer Bewegung
Kann mir denn niemand helfen?

17.06.2020, 05:07

HAL 9000

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Auch unter dem Begriff Hauptachsentransformation bekannt.

Zitat:

Original von Malou2016
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=R\vec{\tilde{x}}+{\color{red}\vec{x}} \end{eqnarray*}$

Hier scheint ein Schreibfehler vorzuliegen.

17.06.2020, 07:55

Malou2016

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Oh ja stimmt.
Es müsste $\begin{eqnarray*} \vec{x}=R\vec{\tilde{x}}+\vec{c} \end{eqnarray*}$ stehen.

Außerdem muss in der letzten Zeile stehen
... womit $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ auch geschrieben werden kann als...

Auch wenn ich nun weiß, dass es sich hierbei um eine Hauptachsentransformation handelt, fehlt mir trotzdem der Ansatz um zu zeigen, dass eine Drehung und eine Translation so existieren, dass die Substitution gilt.

17.06.2020, 08:30

HAL 9000

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Tja, man muss sich dann auch erstmal einlesen in das Thema "Hauptachsentransformation", wenn man das in der Vorlesung verpasst hat. Ich werde sicher nicht die gesamte Herleitung dazu abpinseln, nur soviel:

Setzen wir $\begin{eqnarray*} x = R\tilde{x}+c \end{eqnarray*}$ (den Vektorpfeilkram lasse ich mal weg, ist lästig) in $\begin{eqnarray*} x^TAx+e^Tx+f=0 \end{eqnarray*}$ ein, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 0 = (\tilde{x}^TR^T+c^T)A(R\tilde{x}+c) + e^T(R\tilde{x}+c) +f = \tilde{x}^T (R^TAR)\tilde{x} + (2c^T A + e^T)R\tilde{x} + c^T A c + e^T c + f \end{eqnarray*}$

Wir bestimmen nun $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} R^TAR \end{eqnarray*}$ zur Diagonalmatrix wird, das geht eben durch Diagonalisierung der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , wobei man darauf achtet, dass die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ aus normierten (!) Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zusammengebaut wird. Ok, damit haben wir dann die Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ mit den $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ auf der Hauptdiagonale.

$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ wählen wir anschließend so, dass $\begin{eqnarray*} 2c^T A + e^T \end{eqnarray*}$ gleich dem Nullvektor ist, das bedeutet umgestellt $\begin{eqnarray*} c = -\frac{1}{2}A^{-1}e \end{eqnarray*}$ , die Regularität von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und damit die Existenz von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ war hier ja vorausgesetzt.

17.06.2020, 10:50

Malou2016

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Vielen Dank schonmal.
Aber wie muss denn A aussehen?
Der Rest ist mir dann momentan soweit klar.