Lagrange Nebenbedingung

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Inschinörstudönt Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Nebenbedingung
Hi,

ich muss mithilfe der Lagrange Multiplikatoren die Extrema von f(x,y) =2(x^2-x^4)-4y^2 unter der NB x^2+y^2 <= 4 berechnen.

Ich habe das mal einfach für x^2+y^2 -4 = 0 gemacht, allerdings glaube ich dass ich dadurch dass ich das Ungleichheitszeichen weggelassen habe irgendwas nicht beachte.
Meine gefundenen Punkte wären in diesem Fall:
(+-2, 0)
(0, +-2)
(+- sqrt(3/2), +- sqrt(5/2))

also insgesamt 8 Stück! Kommt das hin, oder ist mir etwas abhanden gekommen?

Liebe Grüße
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Nebenbedingung
Du mußt natürlich auch das Gebiet mit untersuchen. Das ist das Innere eines Kreises mit Radius 2 um den Nullpunkt. Das geht wie üblich, indem du zunächst die Nullstellen der Gradienten bestimmst. smile
Inschinörstudönt Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Nebenbedingung
Hallo,

stimmt. Das habe ich nun gemacht, da hat sich ergeben, dass der einzige kritische Punkt (0,0) wäre. Dieser eingesetzt in f(x,y) ist 0.
Dann habe ich f(t,0) und f(0,t) für t -> 0 untersucht.
Dabei kam heraus, dass f für hinreichend kleine t um den Punkt (0,0) sowohl größer, als auch kleiner wird. Daraus habe ich dann geschlossen, dass es im inneren des Kreises keine Extrema geben kann und mit x^2+y^2=4 weitergemacht.
Ist das so korrekt, oder ist mir ein Fehler unterlaufen?

Zudem kam heraus, dass
(+-2, 0) -> globale Minima
(0, +-2) -> ??? Lok. Extrema?
(+- sqrt(3/2), +- sqrt(5/2)) -> globale Maxima

ja was sind denn nun die Punkte (0, +-2)?
Existieren diese überhaupt als lok. Extrema, oder habe ich mich da vertan?
Wie prüfe ich, um welche Art von Extremum es sich dort handelt?
Ohne Lagrange würde ich mir einfach die Definitheit der Hessematrix anschauen, aber
hier bin ich ratlos.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Nebenbedingung
Zitat:
Original von Inschinörstudönt
Ist das so korrekt, oder ist mir ein Fehler unterlaufen?

Für mich paßt das.

Zitat:
Original von Inschinörstudönt
Wie prüfe ich, um welche Art von Extremum es sich dort handelt?
Ohne Lagrange würde ich mir einfach die Definitheit der Hessematrix anschauen, aber
hier bin ich ratlos.

In der Tat ist hier die Untersuchung mit der Lagrange-Methode komplexer (ich müßte mich da auch erst in die Theorie einlesen), so daß ich in diesem Fall die schnelle Variante wählen würde. Die Nebenbedingung läßt sich nämlich bequem in die Hauptfunktion einsetzen. smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Nebenbedingung
Zitat:
Original von Inschinörstudönt
Das habe ich nun gemacht, da hat sich ergeben, dass der einzige kritische Punkt (0,0) wäre.

Da möchte ich Einspruch erheben.
Inschinörstudönt Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

bezüglich des Einspruchs... das mit (0,0) als einzigen kritischen Punkt ist auf g(x,y) (die NB) bezogen, denn der Gradient ist (2x,2y)^T. Da bleibt nur (0,0).

Bezüglich des Einsatz Verfahrens, darf man das einfach so machen? Werde ich mir dann für andere Fälle merken.
Hier allerdings ist die Lagrange Methode Pflicht bzw. vorgeschrieben von der Aufgabe.
 
 
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwo, im Bereich des schwarzen Kreises , solltest Du deine Extrema finden. Dazu reicht simples Ableiten von nach und und Nullsetzen dieser Ableitungen.
[attach]51509[/attach]
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Inschinörstudönt
bezüglich des Einspruchs... das mit (0,0) als einzigen kritischen Punkt ist auf g(x,y) (die NB) bezogen, denn der Gradient ist (2x,2y)^T. Da bleibt nur (0,0).

Kritische Punkte im Inneren des Gebiets sind bezüglich der Zielfunktion zu berechnen.
Inschinörstudönt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Inschinörstudönt
bezüglich des Einspruchs... das mit (0,0) als einzigen kritischen Punkt ist auf g(x,y) (die NB) bezogen, denn der Gradient ist (2x,2y)^T. Da bleibt nur (0,0).

Kritische Punkte im Inneren des Gebiets sind bezüglich der Zielfunktion zu berechnen.


Die befinden sich bei (+- 1/sqrt(2), 0). Heißt das nun, dass es Extrema im inneren des Kreises der NB gibt? Dann hab ich ja vollkommen die A...karte gezogen und kann nicht mit Lagrange weitermachen? Denn so kann ich x^2+y^2 <= 4 ja nicht zu x^2+y^2=4 vereinfachen und Lagrange anwenden?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Inschinörstudönt
Die befinden sich bei (+- 1/sqrt(2), 0). Heißt das nun, dass es Extrema im inneren des Kreises der NB gibt?

Das sind erst mal nur kritische Punkte. Ob es tatsächlich Extrema sind, muss noch geprüft werden.

Zitat:
Dann hab ich ja vollkommen die A...karte gezogen und kann nicht mit Lagrange weitermachen? Denn so kann ich x^2+y^2 <= 4 ja nicht zu x^2+y^2=4 vereinfachen und Lagrange anwenden?

Auf dem Rand des Gebiets kann man schon mit Lagrange arbeiten. Auf dem Rand gilt ja auch das Gleichheitszeichen.
Inschinörstudönt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
[quote]Original von Inschinörstudönt
Die befinden sich bei (+- 1/sqrt(2), 0). Heißt das nun, dass es Extrema im inneren des Kreises der NB gibt?

Das sind erst mal nur kritische Punkte. Ob es tatsächlich Extrema sind, muss noch geprüft werden.

Es sind leider tatsächlich extrema, habe ich im vorherigen Aufgabenteil schon bestimmt. Wie ist also weiter zu verfahren?
Inschinörstudönt Auf diesen Beitrag antworten »

An dieser Stelle würde ich darum bitten - sofern möglich - das beliebte Mathematiker "ich gebe dir eine Antwort aber danach weißt du weniger als vorher" abzubrechen und mir hilfreiche Tipps zu geben. Ich muss die Aufgabe nämlich morgen abgeben und beschäftige mich schon recht lange damit.

Also... die gefundenen Punkte auf dem Rand des Kreises sind im 1. Post erwähnt,
nun will es der Unglückliche Zufall so, dass f(x,y) extrema bei (+- 1/sqrt(2),0) hat, das verträgt sich nicht gut mit der NB x^2+y^2<=4 für Lagrange, wo ich ein = brauche.
KKT haben wir nicht behandelt, allerdings wäre das hier eine Möglichkeit so wie ich gelesen habe.

Was soll ich nun machen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Inschinörstudönt
An dieser Stelle würde ich darum bitten - sofern möglich - das beliebte Mathematiker "ich gebe dir eine Antwort aber danach weißt du weniger als vorher" abzubrechen und mir hilfreiche Tipps zu geben. Ich muss die Aufgabe nämlich morgen abgeben und beschäftige mich schon recht lange damit.

Dieses Forum ist kein Dienstleister, der deine Aufgaben erledigt. Und man hat sich durchaus bemüht, dir nützliche Hilfestellungen zu geben. Mit solchen Bemerkungen steigerst du sicher nicht die Bereitschaft, dir zu helfen.

Zitat:
Also... die gefundenen Punkte auf dem Rand des Kreises sind im 1. Post erwähnt,
nun will es der Unglückliche Zufall so, dass f(x,y) extrema bei (+- 1/sqrt(2),0) hat, das verträgt sich nicht gut mit der NB x^2+y^2<=4 für Lagrange, wo ich ein = brauche.
KKT haben wir nicht behandelt, allerdings wäre das hier eine Möglichkeit so wie ich gelesen habe.

Der Verweis auf Lagrange kann nur den Rand betreffen, denn im Inneren des Gebiets kann man Lagrange nicht verwenden. Es dürfte also der Aufgabenstellung nicht widersprechen, wenn man im Inneren des Gebiets ohne Lagrange arbeitet. Wenn ihr KKT nicht hattet, sollt ihr es sicher auch nicht verwenden.

Was weiter zu tun ist, hängt von der genauen Aufgabenstellung hat. Wenn nur die globalen Extrema der Zielfunktion auf dem durch die Nebenbedingung definierten Gebiet zu bestimmen sind, ist die Sache einfach. Diese sind sicher auf den kritischen Punkten gelegen. Man bestimmt den Wert der Zielfunktion auf allen kritischen Punkten im Inneren und auf dem Rand und findet so das Maximum und das Minimum und deren Positionen.

Wenn aber auch nach den lokalen Extrema gefragt ist, muss man die kritischen Punkte im Inneren mit der Hessematrix überprüfen

https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix#Extremwerte

und die kritischen Punkte auf dem Rand mit der geränderten Hessematrix

https://de.wikipedia.org/wiki/Geränderte_Hesse-Matrix
Inschinörstudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Danke für die Antwort.
Klar, dass das Forum kein Dienstleister ist, ist ja logisch.
Allerdings habe ich die Beobachtung gemacht, dass Mathematiker sehr gerne "verschlüsselte Tipps" geben, die einem mit relativ wenig Zeit nur bedingt weiterhelfen.

Ich habe es nun so gemacht, dass ich alle kritischen Punkte aufgeschrieben habe.
Also sowohl die die sich auf dem Rand mit Lagrange ergeben haben sowie die die sich aus dem vorherigen Aufgabenteil ganz normal durch f(x,y) ergeben haben.
Dann habe ich einfach geschaut wo der größte und kleinste wert angenommen wird, diese als die globalen Minima/Maxima identifiziert und den Rest als lokale Extrems betitelt.

Wird schon irgendwie halbwegs passen...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Der Punkt ist sicher kein lokales Extremum. Für die kritischen Punkte am Rande wäre das noch zu prüfen, wie ich schon sagte. Bei 2 Variablen und einer Nebenbedingung ist das Kriterium für die geränderte Hessematrix sehr einfach, wie das Beispiel in dem Link zeigt.

Die identifizierten globalen Maxima und Minima sind allerdings mit Sicherheit auch lokale Extrema.
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