Konvergenz der Fixpunktiteration

15.06.2020, 13:49	abd3	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Fixpunktiteration Meine Frage: Heyo, Wir haben in NuMa eine Aufgabe im Zusammenhang mit Fixpunktiterationen gestellt bekommen, bei der die Lösung für mein Verständnis etwas zu kurz kam; hier erstmal die Aufgabe: Eine stetig differenzierbare Funktion f(x) beliebiger Dimension habe einen Fixpunkt f(z). Mit f(xn)=xn+1 sei eine Fixpunktiteration definiert. Folgt aus der Konvergenz des Fixpunktverfahrens dass [latex\|] \frac{df(z)}{dx} \|<1 [/latex] ? Antwort: Nein, denn der Fixpunktsatz von Banach sei nur ein hinreichendes Kriterium. Meine Ideen: Was mich daran stört ist, dass ein Fixpunkt mit einer Steigung größer 1 doch eigentlich abstoßend sein müsste... für mein Verständnis darf eine Fixpunktiteration nicht konvergieren wenn im Fixpunkt selber eine Steigung größer 1 vorliegt. Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
15.06.2020, 13:51	abd3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz der Fixpunktiteration Sorry für den Latex-fail, ich hoffe man versteht trotzdem was ich meine...
15.06.2020, 13:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ kann z.B. schon mal im Fixpunkt starten, da ist es dann völlig egal, was die Ableitung da macht. Ebenso kann man Beispiele konstruieren, wo man nach einem oder mehreren Schritten direkt im Fixpunkt landet, auch dort ist dann diese Ableitung egal. Richtig ist, dass das "exotische" Konstruktionen sind, da ein geringes Abweichen von diesen isolierten speziellen Startpunkten i.d.R. dann zur Divergenz des Verfahrens führen - oder zur Konvergenz gegen einen anderen, stabilen Fixpunkt.
15.06.2020, 14:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
cos(x) konvergiert rattenschnell in der Nähe von 0,75. Ca. 10 Iterationen genügen. sin(x) konvergiert auch, aber ganz langsam gegen 0. Nach 500 Iterationen ist das Ziel noch nicht erreicht.
15.06.2020, 14:33	abd3	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur verstehe ich dann nicht warum dieses Argument nicht gilt: Wenn die Ableitung im Fixpunkt größer 1 ist, ist sie das auch in einer kleinen Umgebung des Fixpunktes (Stetigkeit der Ableitung). Wählt man nun einen Punkt aus dieser Umgebung, muss nach dem Mittelwertsatz der Abstand des nächsten Iterationsgliedes zum Fixpunkt im Vergleich zu vorher gewachsen sein. Wie kann auf diese Art Konvergenz erfolgen? Ich verstehe zwar dass das im Falle einer genau auf dem Fixpunkt startenden Folge so ist, aber andere Beispiele wollen mir nicht einleuchten...
15.06.2020, 14:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich schon sagte: Es kann außer dem Fixpunkt selbst auch noch andere, dann allerdings i.d.R. isolierte Startwerte geben, wo dennoch die Konvergenz gegen diesen instabilen Fixpunkt erfolgt. Nehmen wir beispielsweise $\begin{eqnarray} f(x) = 2\sin(x) \end{eqnarray}$ in Bezug auf den instabilen Fixpunkt $\begin{eqnarray} x^=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f'(x^) = 2 > 1 \end{eqnarray}$ : Alle Startwerte $\begin{eqnarray} x=k\pi \end{eqnarray}$ führen per Fixpunktiteration $\begin{eqnarray} x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray}$ nach nur einem Schritt zu diesem Fixpunkt, und die Folge bleibt dann natürlich dort. Der ganze große Rest an Startwerten führt aber zur Konvergenz gegen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} -g \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} g\approx 1.8955 \end{eqnarray}$ , diese beiden letzteren Fixpunkte sind stabil mit $\begin{eqnarray} \left\|f'(\pm g)\right\| < 1 \end{eqnarray}$ .
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16.06.2020, 10:03	abd3	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke das macht mir das ganze deutlich klarer! Perfektes Beispiel!

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