Gleichung mit Winkelfunktion lösen

15.06.2020, 13:08	Protolus	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit Winkelfunktion lösen Für ein Projekt im Bereich HF schlag ich mich mit Winkelfunktionen herum. Bis hierher bin ich gekommen. $\begin{eqnarray} \arcsin(\frac{\sin(x+\arcsin(\frac{\sin(x)}{k1})) }{k2})=\arcsin(\frac{\sin(x)}{k3}) \end{eqnarray}$ Aber jetzt "beisst es aus" Ist diese Gleichung nach x auflösbar?
15.06.2020, 13:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die äußere Umrahmung ist schon mal sinnlos verkomplizierend: Für den $\begin{eqnarray} \arcsin \end{eqnarray}$ als bijektive Funktion folgt aus $\begin{eqnarray} \arcsin(u)=\arcsin(v) \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} u=v \end{eqnarray}$ , daher können wir auch gleich $\begin{eqnarray} \frac{\sin\left(x+\arcsin\left(\frac{\sin(x)}{k_1}\right)\right)}{k_2} = \frac{\sin(x)}{k_3} \end{eqnarray}$ bzw. dann gleich auch $\begin{eqnarray} \sin\left(x+\arcsin\left(\frac{\sin(x)}{k_1}\right)\right) = \frac{k_2}{k_3}\sin(x)\qquad () \end{eqnarray}$ schreiben. Und man sollte es nicht für möglich halten, dieses Teil ist sogar erstaunlich einfach lösbar. EDIT: Zugegeben, so ganz sinnlos ist das mit der Umrahmung nicht: Für Lösungen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ der entstandenen Gleichung () muss zumindest überprüft werden, ob $\begin{eqnarray} \sin(x)\in\left[-\left\|k_3\right\|,\left\|k_3\right\|\right] \end{eqnarray}$ , andernfalls ist es keine Lösung der Originalgleichung. Ist natürlich nur im Fall $\begin{eqnarray} \left\|k_3\right\|<1 \end{eqnarray}$ relevant, da es für $\begin{eqnarray} \left\|k_3\right\|\geq 1 \end{eqnarray}$ automatisch erfüllt ist.

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