Gleichung mit floor

15.06.2020, 20:24

Dopap

Gleichung mit floor

wie könnte man möglichst einfach

$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n\in \{1,2,3,\cdots\} } \lfloor \sqrt n \rfloor +\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor = \lfloor \sqrt{4n+1}\rfloor \end{eqnarray*}$

als wahr nachweisen?

edit: das könnte Probleme bereiten, der Radikand rechts sollte schon $\begin{eqnarray*} 4n+2 \end{eqnarray*}$ sein

15.06.2020, 22:15

HAL 9000

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Ich weiß nicht, was das mit dem $\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n\in \{1,2,3,\cdots\}} \end{eqnarray*}$ bedeuten soll - ich ignoriere das einfach mal als fehlerhaft eingesetzte Symbolik.

Was die Aussage $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt n \rfloor +\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor = \lfloor \sqrt{4n+1}\rfloor \end{eqnarray*}$ betrifft, die ist ca. für die Hälfte aller $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ falsch, mit $\begin{eqnarray*} 4n+2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 4n+1 \end{eqnarray*}$ wird das auch nicht besser.

Sei $\begin{eqnarray*} n=k^2+m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq m\leq 2k \end{eqnarray*}$ , dann ist

1) Für $\begin{eqnarray*} 0\leq m\leq k-1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt n \rfloor + \lfloor \sqrt{n+1} \rfloor = k + k = 2k \end{eqnarray*}$ sowie auch $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt{4n+1}\rfloor = 2k \end{eqnarray*}$ .

2) Für $\begin{eqnarray*} k\leq m\leq 2k-1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt n \rfloor + \lfloor \sqrt{n+1} \rfloor = k + k = 2k \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt{4n+1}\rfloor = 2k+1 \end{eqnarray*}$ .

2) Für $\begin{eqnarray*} m=2k \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt n \rfloor + \lfloor \sqrt{n+1} \rfloor = k + k+1 = 2k+1 \end{eqnarray*}$ sowie auch $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt{4n+1}\rfloor = 2k+1 \end{eqnarray*}$ .

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Ich habe so langsam die Vermutung, dass du EIGENTLICH die Behauptung

$\begin{eqnarray*} \left\lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+1} \right\rfloor \end{eqnarray*}$

meinst. Die ist allerdings für alle natürlichen Zahlen wahr.

16.06.2020, 02:29

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich weiß nicht, was das mit dem $\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n\in \{1,2,3,\cdots\}} \end{eqnarray*}$ bedeuten soll - ich ignoriere das einfach mal als fehlerhaft eingesetzte Symbolik.

das ist Standard und bedeutet : Für alle n in {1,2,3,...}

und als Pendant z.B. noch $\begin{eqnarray*} \bigvee_{x\in \mathbb R} \end{eqnarray*}$ es gibt ein x ...

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sorry für diese doppelten Schreibfehler, tatsächlich geht es um

$\begin{eqnarray*} \forall\,\, n \in \{1,2,3, \cdots\}: \left\lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor \end{eqnarray*}$

so stimmt es jetzt hoffentlich.

16.06.2020, 09:07

HAL 9000

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Ok, als Logiksymbol verwendet kann man es in der Form

$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n\in \{1,2,3,\cdots\}} \left( \lfloor \sqrt n + \sqrt{n+1}\rfloor = \lfloor \sqrt{4n+1}\rfloor\right) \end{eqnarray*}$

akzeptieren. Ich hab eine Zeit lang gegrübelt, was denn $\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n\in \{1,2,3,\cdots\}} \lfloor \sqrt n + \sqrt{n+1}\rfloor \end{eqnarray*}$ für ein Konstrukt sein soll...

19.06.2020, 10:51

Dopap

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richtig, Quantor gefolgt von Aussageform. Spätestens nach 2 Quantoren übersichtlicher als die einzeilige Schreibweise.
Ich hatte 'mal eine Aussage mit 4 Quantoren die ich aber trotz dieser Darstellungsform nicht verstanden hatte

... aus dem Auge verloren, Sohnemann musste überraschend zur OP.

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