Simultane Diagonalisierung

16.06.2020, 14:38

techno_line

Simultane Diagonalisierung

Meine Frage:
Guten Tag, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe:
Ich soll eine simultante Diagonalisierung bei 2 Matrizen durchführen, soweit kein Problem:
Habe bei beiden Matrizen eine Basis aus Eigenvektoren bestimmt. Nun aber das Problem: Bisher waren diese beiden Basen immer identisch und ich konnte meine Matrix S^1 zur Diagonalisierung aufstellen, allerdings sind die Basen jetzt nicht mehr gleich. Was muss ich dann tuen? Die Basen sind auch richtig, ich habe es überprüft.

Meine Ideen:
Ich dachte vielleicht irgendwie die Vektoren der Basis B als Linearkombination der Basis A darzustellen, allerdings lieferte dies nichts Halbes und nichts Ganzes!
Danke schonmal für Eure Hilfe!

16.06.2020, 17:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Und du bist dir wirklich sicher, dass es eine solche gemeinsame Basis aus zu beiden Matrizen passenden Eigenvektoren gibt?

Ich kannte dieses Konzept einer "simultanen Diagonalisierung" zweier Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ bisher nicht, aber laut Wikipedia ist notwendig und hinreichend dafür dass dies klappt, dass die Matrizen kommutieren, d.h, $\begin{eqnarray*} AB=BA \end{eqnarray*}$ gilt. Hast du letzteres in deinem Fall überprüft?

Eine weitere Falle kann natürlich sein, dass wenigstens eine der Matrizen Eigenwerte einer Vielfachheit $\begin{eqnarray*} v>1 \end{eqnarray*}$ besitzt: Es müssen ja nicht alle Eigenvektoren aus dem zugehörigen Eigenraum auch Eigenvektoren der anderen Matrix sein, sondern nur bestimmte $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ unabhängige daraus!

17.06.2020, 11:02

techno_line

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, sry für die späte Antwort!
JA meine Matrizen kommutieren, es sind:
A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 2 & 0 & -6 \\ -\frac{2}{3} & 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 6 & 6 \\ -\frac{16}{3} & -10 & -8 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich für A Basis aus Eigenvektoren: $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
Basis aus Eigenvektoren von B: $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

17.06.2020, 11:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist auch Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , denn in deiner Basis zerlegt ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = -3\cdot \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Es liegt damit genau das Problem vor, welches ich oben befürchtet hatte:

Zitat:

Original von HAL 9000
Eine weitere Falle kann natürlich sein, dass wenigstens eine der Matrizen Eigenwerte einer Vielfachheit $\begin{eqnarray*} v>1 \end{eqnarray*}$ besitzt: Es müssen ja nicht alle Eigenvektoren aus dem zugehörigen Eigenraum auch Eigenvektoren der anderen Matrix sein, sondern nur bestimmte $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ linear unabhängige daraus!

Im vorliegenden Fall betrifft es leider sogar beide Matrizen: 3 ist doppelter Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , und -2 doppelter Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , d.h. die von dir berechnete Eigenvektorbasis zum Eigenraum 3 von A bzw. die zum Eigenraum 2 von B sind vermutlich unbrauchbar für die gemeinsame Basis.

Allerdings sind die beiden Eigenvektoren zu den "einzelnen" Eigenwerten brauchbar, die kannst du schon mal in die gemeinsame Basis übernehmen, das sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert 0 von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{4}{3} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert 0 von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Für den einen noch fehlenden Basisvektor musst du dir noch was einfallen lassen. Augenzwinkern

17.06.2020, 12:04

techno_line

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, ich danke dir, das hilft mir schonmal sehr weiter! Augenzwinkern

17.06.2020, 18:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir zum dritten Basisvektor Gedanken gemacht: Der müsst sowohl Eigenvektor zum Eigenwert 3 von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als auch Eigenvektor zum Eigenwert -2 von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sein, das ergibt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Damit geht die Sache dann tatsächlich auf. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Simultane Diagonalisierung

Verwandte Themen