Entwicklungspunkt

16.06.2020, 21:04	hilf-mir-bitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Entwicklungspunkt Aufgabe: Gesucht ist T3 (f,x, pi/3) f: (-pi/2,pi/2)->R: x->ln(cos(x)). X0 =pi/3 Problem/Ansatz: Erstmal natürlich 3-mal abgeleitet. O.Abl. = ln(cos(x)) 1.Abl. =-sin(x)/cos(x) =- tan(x) 2.Abl. =-1/(cos(x))^2 3.Abl. =-2sin(x)/(cos(x))^3 Richtig? Mein Problem ist wenn ich den Entwicklungspunkt jeweils einsetzte (pi/3) Wie mach ich das? Was ergibt das? Z.B. ln(cos(pi/3))?
16.06.2020, 22:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu meiner Zeit hat man $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ noch bei der Einführung der Winkelfunktionen als speziellen Funktionswert kennengelernt.
16.06.2020, 23:28	Luftikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Sichmerken.. $\begin{eqnarray} \begin {array}{c\|cc} \text{} & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \\\hline sin(x) & \frac{\sqrt{0}}{2} & \frac{\sqrt{1}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{4}}{2} \\ cos(x) & \frac{\sqrt{4}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{1}}{2} & \frac{\sqrt{0}}{2}\end{array} \end{eqnarray}$
17.06.2020, 09:04	hilf-mir-bitte	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ihr lieben! Das werde ich direkt mal in meine Merkliste schreiben!
17.06.2020, 09:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was die Ableitungen betrifft: Wegen $\begin{eqnarray} (\tan(x))' = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) \end{eqnarray}$ kann man alle Ableitungen als Polynome von $\begin{eqnarray} \tan(x) \end{eqnarray}$ schreiben: D.h., mit Ansatz $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) =: g_n(\tan(x)) \end{eqnarray}$ folgt per Kettenregel $\begin{eqnarray} f^{(n+1)}(x) = \left(f^{(n)}(x)\right)' = g_n'(\tan(x))\cdot (\tan^2(x)+1) \end{eqnarray}$ , d.h. wir haben die Polynomiteration $\begin{eqnarray} g_{n+1}(t) = g_n'(t)\cdot (t^2+1) \end{eqnarray}$ , das ergibt $\begin{eqnarray} g_1(t) = -t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_2(t) = -1\cdot (t^2+1) = -t^2-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_3(t) = (-2t)\cdot (t^2+1) = -2t^3-2t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_4(t) = (-6t^2-2)\cdot (t^2+1) = -6t^4-8t^2-2 \end{eqnarray}$ usw. Mit $\begin{eqnarray} \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \end{eqnarray}$ benötigt man dann für das Taylorpolynom die Werte $\begin{eqnarray} g_n(\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ . Zugegeben, diese "systematische" Rechenvereinfachung lohnt sich womöglich erst für ein Taylorpolynom höherer Ordnung als nur 3.

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