Polynom irreduzibel

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Kai-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom irreduzibel
Ich soll entscheiden, ob das Polynom P= x^4 + 1 irreduzibel ist in IR[x], Q[x] und Z[x].

In IR[x] ist es nicht irreduzibel. Da habe ich eine Zerlegung gefunden.

Ich glaube, dass es nicht irreduzibel ist in Q[x] und Z[x], weil ich keine Nullstellle gefunden habe. Aber wie kann ich das jetzt beweisen? Ich habe mir überelgt, dass man das eventuell über die Gradformel machen könnte. Aber ich komme nicht weiter.

Es gilt: Grad(P) = Grad(Q) + Grad(S) = 4. Also muss Grad(Q) = Grad (S) = 2 sein oder Grad(Q) = 3 und Grad(S) =1. Aber wie kann ich jetzt auf Irreduziblität schlussfolgern?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die eindeutige reelle Zerlegung, die du mittels der komplexen Zerlegung finden kannst, ist nicht rational also auch nicht ganzrational. Also ist das Polynom über Q und Z irreduzibel.
Kai-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Da habe ich etwas zu kompliziert gedacht. Danke. smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte, dass die Eindeutigkeit der reellen Zerlegung bewiesen werden muss. Tipp : Benutze die Eindeutigkeit der komplexen Zerlegung in Linearfaktoren.
Beachte, dass die Eindeutigkeit dieser komplexen Zerlegung bewiesen werden muss. Tipp : "trivial".
Kai-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hinweise.

Ich hätte noch eine weitere Frage zur Irreduziblität von 2i in dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen.
Wenn es irreduzibel ist, dann müsste es Teiler geben, die keine Assoziierten und keine Einheiten sind.
3i = (a+bi)(c+di). Ich würde dann wie folgt über die Norm argumentieren:
(a+bi) ist Teiler von 2i, d.h. N(a+bi) ist ein Teiler von N(2i) im Ring Z
N(a+bi) = a^2 + b^2
N(2i) = 4
a^2+b^2 ist ein Teiler von 4 und a^2+b^2 mindestens 0. a^2+b^2 muss einer der Zahlen 1,2,4 sein, denn das sind die einzigen natürlichen Teiler von 4. Ich kann 2 als Summe von 2 Quadraten schreiben. D.h. es gibt eine Zerlegung, die nicht nur Einheiten oder Assoziierte enthält.
Stimmt das so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, das war's aber auch schon.

Kann es sein, dass du die Begriffe reduzibel und irreduzibel durcheinander bringst ?
Ein Element a heißt reduzibel, wenn es sich als Produkt a=bc mit Nichteinheiten b und c darstellen lässt.
Ein Element a heißt irreduzibel, wenn es sich nicht als ein solches Produkt a=bc darstellen lässt.
 
 
Kai-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich verspreche mich manchmal. Was die Begriffe bedeutet, weiß ich. Wir benutzten in der Vorlesgug immer irreduzibel und nicht irreduzibel. Da habe ich wohl das Wort nicht, mal vergessen.

Aber 3i ist doch irreduzibel im Ring der ganzen gaußschen Zahlen. Da kann ich das doch nicht so zerlegen. Wieso geht die Zerlegung denn dann bei 2i? Oder habe ich einen Denkfehler?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Einheit, also sind und keine wesentlichen Zerlegungen. Es handelt sich nur um assoziierte Elemente. ist immer assoziiert zu in .
Kai-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist 2i irreduzibel und meine Argumentation über die Norm funktioniert nicht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

2 ist reduzibel. (habe ich gerade gesehen, sorry, ich war wohl auf dem falschen Dampfer). 2i ist ein Quadrat, also reduzibel. Die Teiler zu finden ist nicht schwer, denn es gibt ja nicht viele Elemente mit Norm 2.
Kai-Mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Wie siehst du das 2i sich als Quadrat schreiben lässt, weil sich 2 als Quadrat schreiben lässt.
1+i und 1-i haben Norm 2. Ist das dann schon meine Zerlegung?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe alles, indem ich das quadratische Gitter zeichne. Norm 2 haben die 4 Zahlen auf dem Kreis um 0 mit Radius Wurzel aus 2. Quadriere diese Elemente oder multipliziere sie mit einander, dann hast du Elemente mit Norm 4, denn die Norm ist ja bekanntlich multiplikatv. So sieht man, dass 2i ein Quadrat und 2 kein Quadrat ist.
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