Quadratintegrierbare Zufallsvariable zeigen

17.06.2020, 16:10	Tom Kenter	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratintegrierbare Zufallsvariable zeigen Meine Frage: Konnte die Aufgabe mit Latex hier nicht einfügen, ist im Anhang Meine Ideen: Weiß jemand wie man das zeigt?
17.06.2020, 19:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
(1) ist die sogenannte Ungleichung von Cantelli (welche eine gewisse Verwandschaft zur Tschebyscheffschen Ungleichung nicht leugnen kann), im verlinkten Wiki findet sich auch ein Beweis. Falls du zu dem noch Fragen hast, kannst du sie dann gern noch stellen. (2) Für eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ sowie eine (auf dem Träger von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ ) konvexe Funktion $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ gilt gemäß Jensenscher Ungleichung $\begin{eqnarray} h\left(E(Z)\right) \leq E\left(h(Z)\right) \end{eqnarray}$ . Bezogen auf $\begin{eqnarray} h(t)=t\ln(t) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} Z=e^X \end{eqnarray}$ bekommt man $\begin{eqnarray} E\left(e^X\right)\cdot \ln\left(E\left(e^X\right)\right) \leq E\left(Xe^X\right) \end{eqnarray}$ . Bezogen auf $\begin{eqnarray} h(t)=\exp(t) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} Z=X \end{eqnarray}$ bedeutet es hingegen $\begin{eqnarray} \exp\left(E(X)\right) \leq E\left( e^X\right) \end{eqnarray}$ . Der Rest sollte dann machbar sein.

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