Least-Square Problem

17.06.2020, 16:25

Numerik^2

Least-Square Problem

Meine Frage:
y: [-1,1]-->R mit Tabelle:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} x & y\\-0.9 & 0.4 \\ -0.7 & -0.22\\ -0.65 & 0.04 \\ -0.47 & -1.6 \\ -0.22 & 0.38 \\ -0.1 & -0.13 \\ 0.23 & 0.33 \\ 0.3 & 1.34 \\ 0.6 & 1.61 \\ 0.71 & 0.97 \\ 0.85 & 1.14\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
Mithilfe der Least Square will man eine Approximation z von y finden, welche als Summe der sinus Funktion modelliert wird:
$\begin{eqnarray*} z= \sum\limits_{k=1}^{n} b_k \cdot (\sin(k\pi x) \end{eqnarray*}$
Der Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{11} (z(x_i)-y_i)^2 \end{eqnarray*}$
soll minimiert werden.
Frage: Wie sieht die Normalengleichung für dieses Problem aus?

Meine Ideen:
Da ich das noch nicht ganz kapiert habe, wie dies funktioniert hoffe ich auf Tipps von eurer Seite, wie ich auf diese Normalengleichung kommen kann, da ich ja nicht weiß, wie ich das b wählen muss???
Muss man anfangen die werte in z einzusetzen, um die Normalengleichung zu bekommen?
Vielen Dank schonmal

Lg Numerik^2

17.06.2020, 22:07

Ulrich Ruhnau

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RE: Least-Square Problem

Zitat:

Original von Numerik^2
$\begin{eqnarray*} z= \sum\limits_{k=1}^{n} b_k \cdot (\sin(k\pi x) \end{eqnarray*}$
Der Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{11} (z(x_i)-y_i)^2 \end{eqnarray*}$
soll minimiert werden.
Frage: Wie sieht die Normalengleichung für dieses Problem aus?

Du setzt einfach mal

$\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{i=1}^{11} (z(x_i)-y_i)^2 \end{eqnarray*}$

an und leitest S nach allen b_k ab, also:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{\partial S}{\partial b_j}=\ldots \end{eqnarray*}$

Daraus muß sich eine Gleichung ergeben vom Typ $\begin{eqnarray*} A_{ik}\cdot b_k=v_i \end{eqnarray*}$ also Matrix mal Vektor gleich Vektor.

18.06.2020, 10:56

Huggy

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RE: Least-Square Problem
Der Sinn der Übung erschließt sich mir nicht. Wenn die Summe tatsächlich bis $\begin{eqnarray*} n=11 \end{eqnarray*}$ laufen soll, man also 11 freie Parameter hat, dann sollte es eine Anpassung geben, die durch alle 11 gegebenen Punkte geht. Und dann kann man auch gleich das dazu gehörige lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} z(x_i)=y_i \quad (i=1, \ldots, 11) \end{eqnarray*}$

lösen. Aber weshalb sollte diese Anpassung sinnvoll sein?

[attach]51529[/attach]

18.06.2020, 13:16

HAL 9000

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Als ich auf

https://www.onlinemathe.de/forum/Kleine-Quadrate

antwortete, habe ich gar nicht gemerkt, dass es um den Fall $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ geht. In dem Fall mutiert die Multiple Lineare Regression natürlich zur Interpolation.

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