Konvergenz von Reihen

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EEve Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen
Meine Frage:
Ich habe einige Reihen die ich auf Konvergenz prfen soll habe aber mit dem Thema so meine Schwierigkeiten.


Meine Ideen:
Bei dem ersten habe ich das Verdichtungslemma probiert um das i loszuwerden aber dann weiß ich nicht wie ich die Konvergenz der Reihe bestimmen soll die dann raus kommt. Auch habe ich es mit dem Quotientenkriterium versucht bekomme da aber 1 raus womit ich keine Aussage treffen kann.
Beim dritten habe ich es mit dem Majorante-\Minorante Kriterium versucht da aber die divergente Reihe größer ist und die konvergente Reihe ab großen k kleiner ist kann ich dazu auch keine Aussage treffen. Vielleicht könnte mir ja jemand sagen welches Kriterium da zu prüfen am besten geeignet wäre.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

(1) ist konvergent, aber nicht absolut konvergent: Das erkennt man beispielsweise über die getrennte Betrachtung von Real- und Imaginärteil mit Leibniz-Kriterium. Eine elegantere Behandlung bietet das Dirichlet-Kriterium, welches sich allerdings nicht der großen Bekanntheit erfreut, die es verdient hätte.

(2) klar divergent mit der harmonischen Reihe als Minorante: Für ist und damit .

(3) ist absolut konvergent mit Majorante . Die Konvergenz aller Reihen mit kann man mit dem Verdichtungskriterium nachweisen, ja
EEve Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort. smile

Also (2) und (3) habe ich soweit verstanden bei der (1) hänge ich aber immer noch etwas. Hab jetzt wieder versucht das mit dem Leibnizkriterium zu machen komme da aber auf keine sinnvolle Lösung. Das Dirichlet-Kriterium kenne ich leider nicht wurde auch in der Vorlesung nicht behandelt kann ich also nicht benutzen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
die getrennte Betrachtung von Real- und Imaginärteil

Hast du das denn wenigstens angefangen? Die Aussage "versucht das mit dem Leibnizkriterium zu machen" reicht mir nicht, da muss schon mehr von dir kommen: Wenigstens erstmal aufstellen könntest du diese Real- und Imaginärteile!
EEve Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der seperaten Betrachtung von Real- und Imaginärteil habe ich so meine Probleme habe dazu auch nicht wirklich was in meinem Skript gefunden, weiß also auch nicht wie genau ich das machen soll. Mein Ansatz soweit:
Für das Leibnizkriterium muss ich zeigen:
1. die Folge alternieren
2. die Folge der Beträge ist monoton fallend
3. die Folge ist eine Nullfolge

Zu 1. : alterniert ja zwischen i, -1, -i und 1 also ist die Folge alternierend
Zu 2. :


Somit ist die Folge monoton fallend.

Zu 3. Hier weiß ich dann nicht mehr weiter. Also mir ist klar, dass eine Nullfolge ist (wurde auch schon bewiesen) wie kann ich jetzt zeigen, dass die komplette Folge eine Nullfolge ist? Aufteilen in Imaginär und Realteil? Aber die Folge ist ja keine Nullfolge und konvergiert auch nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von EEve
habe dazu auch nicht wirklich was in meinem Skript gefunden

Wenn man Grundkenntnisse in komplexen Zahlen hat, muss man dazu nichts extra "finden" - man muss einfach mal losrechnen, d.h. die ersten vier, fünf Glieder aufschreiben, um das System zu
erkennen:

, , , , .

D.h. die Reihenglieder sind alternierend reell bzw. rein imaginär. Mit (ungerade Indizes) bzw. (gerade Indizes) ist damit basierend auf



Damit ist der Realteil und der Imaginärteil . Die Gesamtreihe konvergiert genau dann, wenn sowohl die Realteilreihe als auch die Imaginärteilreihe konvergieren.
 
 
EEve Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit den komplexen Zahlen hapert es etwas bei mir. Die Konvergenz der beiden Reihen zu bestimmen sollte aber jetzt kein Problem sein. Danke. Freude
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