Aperiodizität und Irreduzibilität einer Markoffkette

20.06.2020, 01:06

hello123

Aperiodizität und Irreduzibilität einer Markoffkette

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe eine generelle Frage zu Aperiodizität und Irreduzibilität einer homogenen Markoffkette. Kann man an der Übergangsmatrix diese beiden Eigenschaften erkennen oder wie prüft man, ob eine Markoffkette aperiodisch und/oder irreduzibel ist?

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ideen dazu, daher frage ich euch. Danke im Voraus.

20.06.2020, 08:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von hello123
Ich habe leider keine Ideen dazu

Man könnte sich mal die Definitionen bzw. deren Erläuterungen anschauen...

Wir reden von endlichem Zustandsraum, oder?

Aus der Ü-Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ selbst kann man einen Zustandsgraphen zeichen: Dort wird $\begin{eqnarray*} i\to j \end{eqnarray*}$ eingezeichnet, sofern $\begin{eqnarray*} p_{ij}>0 \end{eqnarray*}$ . Die Kette ist irreduzibel, wenn man in diesem Graphen von jedem Zustand in jeden anderen gelangen kann. Sie ist aperiodisch, wenn für jeden Zustand der ggT aller möglichen Weglängen vom Zustand zurück zu dem selben Zustand gleich 1 ist.

Findet man einen Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} P^n \end{eqnarray*}$ aus sämtlich positiven Matrixelementen besteht, dann kann man sich die Zustandsgraphen und das Zählen der Weglängen auch sparen: Dann ist die Kette sowohl aperiodisch als auch irreduzibel. Im einfachsten Fall ist das bereits für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ , d.h. die Matrix $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ selbst erfüllt.

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