Periodizität von Markoffketten

20.06.2020, 11:19

hello123

Periodizität von Markoffketten

Meine Frage:
Hallo,
ich brauche eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine irreduzible homogene Markoffkette $\begin{eqnarray*} (\mu,P) \end{eqnarray*}$ mit Zustandsraum $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

Ich brauche nun ein Gegenbeispiel um die folgende Aussage zu widerlegen:
Ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ endlich und ist $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ periodisch mit Periode $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich folgende Aussage beweisen:
Ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ endlich und ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ periodisch mit Periode $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich bin für jede Hilfe dankbar smile

22.06.2020, 10:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von hello123
Ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ endlich und ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ periodisch mit Periode $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

Was bedeutet denn "periodisch mit Periode 2" ? Man kann die Zustandsmenge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ dann in zwei disjunkte Teilmengen $\begin{eqnarray*} S_1,S_2 \end{eqnarray*}$ zerlegen, dass nur Übergänge $\begin{eqnarray*} S_1\to S_2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} S_2\to S_1 \end{eqnarray*}$ möglich sind, aber keine Übergänge innerhalb $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ bzw innerhalb $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ . Für die Ü-Matrix bedeutet das (bei passender Gruppierung der Zustände) in Blockschreibweise

$\begin{eqnarray*} P = \begin{pmatrix} 0 & A\\ B & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit quadratischen Nullmatrizen (ggfs. unterschiedlicher Dimension) entlang der Hauptdiagonale.

Ein passender Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist dann $\begin{eqnarray*} (1,\dots,1,-1,\ldots,-1) \end{eqnarray*}$ bestehend aus genau $\begin{eqnarray*} |S_1| \end{eqnarray*}$ Einsen sowie $\begin{eqnarray*} |S_2| \end{eqnarray*}$ Minuseinsen.

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