Faltung logarithmische Normalverteilung

20.06.2020, 14:40	NicMu	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung logarithmische Normalverteilung Meine Frage: Schönen Samstag zusammen! Ich habe eine Frage zur Faltung von log-normalverteilten Zufallsvariablen. Wenn ich es richtig verstehe, ist die Faltung von zwei unabhängigen Zufallsvariablen doch ihre Summe - richtig? (https://de.wikipedia.org/wiki/Faltung_(Stochastik)) Wie sieht dann die Faltung von zwei log-normalverteilten Zufallsvariablen aus? Meine Ideen: Laut Wikipedia kann die Summe von zwei log-normalverteilten Z.var. angenähert werden (https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution#Related_distributions). Müsste diese Annäherung dann nicht auch eine Annäherung an die Faltung sein? Also Z (als Summe) ist dann wieder log-normalverteilt mit den angenäherten Parametern My und Sigma.
22.06.2020, 09:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faltung logarithmische Normalverteilung Die Faltung zweier unabhängiger Normalverteilungen $\begin{eqnarray} X\sim\mathcal{N}\left(\mu_x,\sigma_x^2\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_y,\sigma_y^2\right) \end{eqnarray}$ ergibt die Normalverteilung $\begin{eqnarray} X+Y\sim\mathcal{N}\left(\mu_x+\mu_y,\sigma_x^2+\sigma_y^2\right) \end{eqnarray}$ . Bei Lognormalverteilungen stimmt eine ähnliche Aussage jedoch nicht: $\begin{eqnarray} X\sim\mathcal{LN}\left(\mu_x,\sigma_x^2\right) \end{eqnarray}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} \ln(X)\sim\mathcal{N}\left(\mu_x,\sigma_x^2\right) \end{eqnarray}$ , analog $\begin{eqnarray} Y\sim\mathcal{LN}\left(\mu_y,\sigma_y^2\right) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \ln(Y)\sim\mathcal{N}\left(\mu_y,\sigma_y^2\right) \end{eqnarray}$ . Gemäß Logarithmengesetzen gilt nun $\begin{eqnarray} \ln(XY) = \ln(X)+\ln(Y) \end{eqnarray}$ , und daher für das Produkt (!) $\begin{eqnarray} XY\sim\mathcal{LN}\left(\mu_x+\mu_y,\sigma_x^2+\sigma_y^2\right) \end{eqnarray}$ . Für die tatsächliche Summe $\begin{eqnarray} X+Y \end{eqnarray}$ lognormalverteilter Werte ist mir hingegen keine solche Vereinfachung bekannt. Wenn die Varianz sehr sehr klein ist im Vergleich zum Mittelwert, dann kann man die Lognormalverteilung durch eine Normalverteilung nähern: $\begin{eqnarray} X\sim\mathcal{LN}\left(\mu_x,\sigma_x^2\right) \end{eqnarray}$ bedeutet ja, es gibt eine standardnormalverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ mit Ist $\begin{eqnarray} X=e^{\mu_x+\sigma_x Z} \end{eqnarray}$ . Bei "kleinem" $\begin{eqnarray} \sigma_x \end{eqnarray}$ kann man linear approximieren $\begin{eqnarray} X= e^{\mu_x}\cdot e^{\sigma_x Z} \approx e^{\mu_x}\left(1+\sigma_x Z\right) \approx \mathcal{N}\left(e^{\mu_x}, e^{2\mu_x}\sigma_x^2\right) \end{eqnarray}$ . In dem Sinne wäre dann $\begin{eqnarray} X+Y \approx \mathcal{N}\left(e^{\mu_x}+e^{\mu_y}, e^{2\mu_x}\sigma_x^2+e^{2\mu_y}\sigma_y^2\right) \end{eqnarray}$ . Aber das geht wie gesagt nur für sehr kleine $\begin{eqnarray} \sigma_x,\sigma_y \end{eqnarray}$ (ohne mich jetzt aus dem Fenster lehnen zu wollen und quantitativ zu spezifizieren, was "sehr klein" konkret bedeutet).

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