2 hoch Aleph Null

Neue Frage »

KR23 Auf diesen Beitrag antworten »
2 hoch Aleph Null
Meine Frage:
Wie zeigt man, dass ?

Meine Ideen:
Kann man dazu einfach zeigen, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen gleich der Mächtigkeit der reellen Zahlen? Der Beweis dazu ist nur leider nicht leicht zu finden..
Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Stichwort: Binärdarstellung der Zahlen aus
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 hoch Aleph Null
Zitat:
Original von KR23
Wie zeigt man, dass ?

Das kann man nicht beweisen.

Zitat:
Kann man dazu einfach zeigen, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen gleich der Mächtigkeit der reellen Zahlen?

Das kann man zeigen, siehe HAL.

Nach meinem Verständnis ist per Definition die kleinste Kardinalzahl . ist also die Kontinuumshypothese und die ist in ZFC unentscheidbar.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne (ohne Index) als Zeichen für die Mächtigkeit des Kontinuums, weiß aber nicht, ob diese Bezeichnung noch aktuell ist. Dann wäre , und die Kontinuumshypothese könnte man als schreiben.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eine Laienfrage zu dieser Kontinuumsgeschichte.
Im Spektrum-Heft vom Januar ist ein Artikel dazu drin, dass die Mehrheit der Mathematiker wohl die -Hypothese für falsch hält bzw. nützlich fände, da dann weit reichende Aussagen und entscheidende Theoreme möglich wären.

Wenn es nun also eine Menge zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen gäbe, wie muss man sich diese vorstellen?
Müsste man diese nicht irgendwie angeben können, bzw. deren Eigenschaften?
Dazu habe ich noch nie etwas gelesen.
Vermutlich habe ich da einen Denkfehler?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Da sowohl die Theorien ZFC+CH als auch ZFC+~CH konsistent sind (die Konsistenz von ZFC vorausgesetzt), kann eine solche Menge nur postuliert oder ihre Existenz durch Hinzunahme eines äquivalenten oder stärkeren Axioms bewiesen werden.
 
 
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber wie muss man sich das konkret vorstellen?
Wie unterscheidet sie sich dann konkret von den natürlichen und den reellen Zahlen?
Kann man eine solche Menge angeben?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

In Gödels L ist die Kontinuumshypothese wahr (sogar für beliebige Ordinalzahlen). Ansonsten gibt es auch Forcing-Modelle nach Cohen. Das hatten wir hier mal diskutiert. Die Idee ist, dass man eine "Fake-Potenzmenge" produziert.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Vorstellung wird das nichts werden. Solche Mengen haben notorisch die Eigenschaft, dass man sie sich nicht vorstellen kann. Nimm mal die die nicht Lebesgue-messbaren Mengen des , die Vitali-Mengen:

Vitali-Mengen

Kannst du dir vorstellen, wie eine solche Menge aussieht? Ich kann es nicht.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »