Eine meiner Mathe-Abi-Aufgaben

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PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »
Eine meiner Mathe-Abi-Aufgaben
Meine Frage:
Ich fürchte zwar, mich jetzt unsterblich zu blamieren, aber sei's drum. Irgendwie stehe ich auf meiner eigenen langen Leitung...
Kürzlich hatte hier jemand auf die Seite "Mathematik alpha" aufmerksam gemacht, die ich sehr gute finde, vor allem auch die vielen PDFs.
Dort habe ich auch meine Mathematik-Abituraufgaben wiedergefunden. Manches könnte ich zwar heute nicht mehr "aus dem Stand", weil ich es seitdem nie wieder gebraucht habe, aber eine Extremwertaufgabe sollte doch drin sein. Dazu komme ich gleich.
Ich weiß noch, daß ich damals eine 2 als Vorzensur hatte und auch in dieser schriftlichen Matheprüfung eine 2. Das fand meine (sehr gute!) Mathelehrerin schade, denn sie wollte mich gern auf eine 1 bringen, was sie mir wohl zutraute, und hätte mich gern in der mündlichen Prüfung gehabt.

Nun aber zu der Extremwertaufgabe. War die es vielleicht, die mir Schwierigkeiten bereitet und mich Punkte gekostet hatte?

Meine Ideen:
Teilaufgabe a) ist kein Problem.

Bei Teilaufgabe b) wundert mich in der Lösung sehr der Term nach dem zweiten Gleichheitszeichen. Na gut, wenn man den Pythagoras bemüht und s durch h und das feste Maß 2 (Meter) ausdrückt, kommt man darauf. Aber eben in a) wurden für h und s so schöne Ausdrücke geliefert. Das schreit ja geradezu danach, diese jetzt auch zu benutzen. Also

A = 1 * h + 1/2 * h * s
A = 2*sin(phi) + 1/2 * 2*sin(phi) * 2*cos(phi) = 2 sin(phi) + 2 sin(phi) cos(phi)

Ich bin ziemlich sicher, daß wir in der Schule die Additionstheoreme nicht behandelt haben, aber sie standen im Tafelwerk und ich wäre bei dem rechten Term wahrscheinlich stutzig geworden und hätte mal nachgeschaut. Da hätte ich gefunden

2 sin(phi) cos(phi) = sin(2 phi), also

A = 2 sin(phi) + sin(2 phi)

Das steht ja so auch in der Lösung rechts bei b).

Wenn ich für c) nun diese Gleichung ableite, komme ich auf

A' = 2 cos(phi) + 2 * cos(2 phi)

Wie zum Teufel kommt man denn auf die in der Lösung angegebene Gleichung?
Ich habe meine Lösung mit einem Online-Differenzierprogramm nachgeprüft und sie ist richtig. (Eigentlich hatte ich keine Zweifel, aber bei der angebotenen Lösung...???)
Ich habe dieses Programm auch mit dem bei b) noch stehenden Term (der mit der Wurzel) gefüttert, wobei etwas ziemlich Monströses herauskommt, aber jedenfalls auch nicht das, was da bei c) als Lösung steht.
Wenn ich nun meine Lösung zur Ermittlung des Extremwertes Null setze, komme ich auf

cos(phi) = - cos(2 phi)

Das ist richtig für phi = 60°, was ich durch Betrachtung des Graphen des Kosinus bzw. am Einheitskreis "erraten" kann. Aber kann ich das auch "richtig" berechnen?
Die weitere angegebene Lösung mit der Substitution und der quadratischen Gleichung ist schon klar, nur weiß ich eben nicht, wie man auf die Gleichung für A' bei c) kommen soll.
Und wenn ich jetzt einmal etwas übersehe bzw. ein Brett vor dem Kopf habe, dann eben immer wieder...

Wer bohrt ein Loch durch dieses Brett für den Durchblick?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, ich weiß jetzt nicht, was dir Kopfschmerzen bereitet:

Bei der Funktion selbst wurde umgewandelt, und bei der Ableitung dann rückwärts wieder .

Ist womöglich etwas sehr sparsam in der Lösungsdarstellung kommentiert. Und eigentlich hätte man sich den Übergang zum Doppelwinkel und dann wieder zurück auch sparen können durch schlichte Differentation nach Produktregel, und anschließend ein bisschen trigonometrischer Pythagoras:

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

kann man auch anders lösen, indem man Periodizität sowie Symmetrie der Kosinusfunktion nutzt. Zunächst entfernt man das Vorzeichen durch Verschieben des einen Arguments um :

.

Im weiteren verwendet man, dass für genau die reellen Lösungen hat. Das bedeutet, dass aus folgt, dass entweder die Summe oder die Differenz ganzzahlige Vielfache von sein müssen!!!

1.Fall Summe: , umgestellt , in den hier interessierenden Winkelbereich fällt da nur mit .

2.Fall Differenz: , umgestellt , macht keinen Sinn hier bei dieser Anwendungsaufgabe. Im übrigen werden all diese Lösungen bereits vom 1.Fall erfasst, nämlich mit .
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

(Ich schreibe im folgenden mal x statt phi; das sieht besser aus, wenn ich mir den Formeleditor sparen möchte.)

Mein Problem ist, daß man (ich jedenfalls) weder von der einen noch von der anderen Variante der Gleichung bei b) nach dem Motto "wie man leicht sieht" zu der Ableitung in c) kommt.

Wie ich schon sagte, ist es doch so naheliegend, mit den in a) ermittelten Werten zu einer Gleichung

A = 2 sinx + 2 sinx cosx

zu kommen. Nun habe ich diese Funktion abgeleitet und erhalten

A' = 2 cosx + 2(cos²x - sin²x) = 2 cos²x + 2 cosx - 2 sin²x

Wenn ich 2 ausklammere, bekomme ich

A' = 2 (cos²x - sin²x + cosx)

Ich würde nun gern sin²x + cos²x = 1 benutzen und addiere deshalb 2 sin²x und subtrahiere sie gleich wieder.

A' = 2 (cos²x + sin²x - 2 sin²x + cosx)
= 2( 1 - 2 sin²x + cosx)
= - 4 sin²x + 2 cosx + 2

Das nützt mir aber nicht so richtig...
Wenn ich allerdings - 2 ausklammere und dann 2 cos²x addiere und subtrahiere

A' = - 2(sin²x - cos²x - cosx)
= - 2(sin²x + cos²x - 2 cos²x - cosx)
= - 2( 1 - 2 cos²x - cosx)
= 4 cos²x + 2 cosx - 2

... dann komme ich endlich auf die angegebene Lösung.

Es wird schon diese Aufgabe gewesen sein, die Schwierigkeiten verursacht hat! :-(
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine meiner Mathe-Abi-Aufgaben
Zitat:
Original von PhyMaLehrer
Wenn ich für c) nun diese Gleichung ableite, komme ich auf

A' = 2 cos(phi) + 2 * cos(2 phi)


Wie schon geschrieben, wird an dieser Stelle einfach ein Additionstheorem (für die Substitution) verwendet:



Wenn man es nicht selbst zur Hand hat, kann man es nachschauen..
https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamm...inkelfunktionen
 
 
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