Varianz über Cauchy-Schwarz-Ungleichung abschätzen

23.06.2020, 12:20	Fenrath	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz über Cauchy-Schwarz-Ungleichung abschätzen Hallo zusammen, ich versuche mich momentan an folgender Aufgabe und komme nicht weiter: Für Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1,X_2,... \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \mathbb E[X_n]=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb VX_n \leq C<\infty \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} \mathbb K(X_i,X_j)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i,j \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|i-j\| \geq 2 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to infty} \mathbb P(\|\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}X_k\| \geq \varepsilon)=0 \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} \mathbb E[X_n] \end{eqnarray}$ der Erwartungswert, $\begin{eqnarray} \mathbb V[X_n] \end{eqnarray}$ die Varianz und $\begin{eqnarray} \mathbb K[X_n] \end{eqnarray}$ die Kovarianz der Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ . Für die Bearbeitung haben wir zudem den folgenden Hinweis erhalten: Nutzen Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung um die Varianz abzuschätzen: $\begin{eqnarray} \mathbb E[\|X_iX_j\|] \leq \sqrt{\mathbb E[X_i^2] \mathbb E[X_j^2]} \end{eqnarray}$ Ich vermute, dass ich mit der Tschebyscheffschen Ungleichung auf dem richtigen Weg bin: $\begin{eqnarray} \mathbb P(\|\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}X_k\| \geq \varepsilon) \leq \frac{1}{\varepsilon^2}\mathbb V[\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}X_k]=\frac{1}{\varepsilon^2n^2}\sum^n_{k=1}\mathbb VX_k \end{eqnarray*}$ Hier komme ich allerdings nicht weiter. Wie kann mir die Cauchy-Schwarz Ungleichung dabei helfen, die Varianz abzuschätzen? Ich habe verschiedene Konstellationen mit Varianz und Kovarianz ausprobiert, kam aber nie zu einem Ergebnis, das mir weiterhelfen würde. Bin ich bereits mit der Tschebyscheffschen Ungleichung falsch abgebogen? Über einen kleinen Denkanstoß würde ich mich sehr freuen.
23.06.2020, 13:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Schlachtplan ist folgender: Es ist $\begin{eqnarray} \mathbb{V}\left(\sum_{k=1}^n X_k\right) = \mathbb{K}\left(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{j=1}^n X_j\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \mathbb{K}\left(X_i,X_j\right)\qquad () \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \|i-j\|\geq 2 \end{eqnarray}$ haben wir $\begin{eqnarray} \mathbb{K}\left(X_i,X_j\right)=0 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt, diese Summanden der Doppelsumme fallen demnach alle weg. Es verbleiben die Summanden mit $\begin{eqnarray} \|i-j\|=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} i=j \end{eqnarray}$ (das ist die Hauptdiagonale mit den Varianzen $\begin{eqnarray} \mathbb{K}\left(X_i,X_i\right) = \mathbb{V}\left(X_i\right) \end{eqnarray}$ ), sowie auch die beiden direkt anschließenden Nebendiagonalen mit $\begin{eqnarray} i-j=\pm 1 \end{eqnarray}$ . Für die, und nur für die nimmst du nun diese Cauchy-Schwarz-Abschätzungen vor. Das hat dann Auswirkung für eine oberere Abschätzung der Gesamtvarianz in () per Dreiecksungleichung, und mit der gehst du dann ins Rennen mit der Tschebyscheff-Ungleichung.
24.06.2020, 15:54	Fenrath	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das hat mir weitergeholfen.
24.06.2020, 16:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Vergleich: Man bekommt damit die Abschätzung $\begin{eqnarray} \mathbb{V}\left(\sum_{k=1}^n X_k\right) \leq (3n-2)C \end{eqnarray}$ , und in Tschebyscheff eingesetzt dann $\begin{eqnarray} \mathbb P\left(\left\|\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}X_k\right\| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{(3n-2)C}{\varepsilon^2n^2} \end{eqnarray}$ .

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