Randomized-Response-Technik

23.06.2020, 13:44

Mathe 1997

Randomized-Response-Technik

Meine Frage:
Hallo! Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten:
Es wurden 500 Schülerinnen/Schüler/* befragt, ob sie schon einmal Drogen konsumiert hätten. Dazu wurden zwei Sorten von Fragebögen verteilt:
F1: Haben Sie schon einmal Drogen genommen? Ja oder Nein? F2: Haben Sie noch nie Drogen genommen? Ja oder Nein?
Es wurden 300 Bögen von der Sorte F1 und 200 Bögen von der Sorte F2 verteilt. Den Befragten wird zufällig einer der Fragebögen in einem neutralen Umschlag ausgegeben. Die Hälfte mit der Frage reißen sie ab und vernichten diese. Auf der unteren Hälfte kreuzen sie ?Ja? oder ?Nein? an und geben die Antwort an den Interviewer zurück. Bei der Auswertung weiß man also nicht, wer welchen Fragebogen bekommen hatte, so dass man aus der Antwort keine Rückschlüsse auf einzelne Befragte oder die ihnen vorgelegte Frage ziehen kann. Es soll angenommen werden, dass 220 der Befragten mit ?Ja? und 280 mit ?Nein? geantwortet haben.
Man unterstellt dabei, dass der Anteil p der Befragten, die schon einmal Drogen genommen haben, an den Befragten beider Fragebogengruppen gleich groß ist.
a) Beantworten Sie mit Hilfe eines entsprechenden Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
E1: Die befragte Person antwortet mit ?Ja?.
E2: Die befragte Person antwortet mit ?Nein?.
E3: Eine Person, die schon einmal Drogen konsumiert hat, antwortet mit ?Ja?.
E4: Eine Person, die noch nie Drogen konsumiert hat, antwortet mit ?Ja?.
b) Vervollständigen Sie das Baumdiagramm und berechnen Sie p.
c) Könnte man p auch berechnen, wenn von den Fragebögen jeweils 250 Stück verteilt
worden wären?

Meine Ideen:
Mir fehlen nur noch E3 und E4. Ich weiß, dass ich zunächst herausfinden muss, wie hoch der Anteil an Personen ist, die Drogen konsumieren, leider scheitere ich dabei. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Danke!

23.06.2020, 13:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe 1997
Ich weiß, dass ich zunächst herausfinden muss, wie hoch der Anteil an Personen ist, die Drogen konsumieren, leider scheitere ich dabei.

Hast du denn die Information

Zitat:

Original von Mathe 1997
Man unterstellt dabei, dass der Anteil p der Befragten, die schon einmal Drogen genommen haben, an den Befragten beider Fragebogengruppen gleich groß ist.

schon in deine Rechnung einfließen lassen?

23.06.2020, 14:00

Mathe 1997

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Ja, ich habe bei Aufgabe b) p=0,2 ausgerechnet und das eingesetzt. Trotzdem verstehe ich nicht, wie ich damit jetzt den Anteil der Personen, die Drogen konsumieren, herausfinden soll.

23.06.2020, 16:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe 1997
Trotzdem verstehe ich nicht, wie ich damit jetzt den Anteil der Personen, die Drogen konsumieren, herausfinden soll.

Das IST doch $\begin{eqnarray*} p=0.2 \end{eqnarray*}$ !!!

23.06.2020, 18:13

Mathe 1997

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Hmm, ich verstehe es irgendwie trotzdem nicht. Kannst du es mir vielleicht genauer erklären? Ich weiß einfach nicht, welche Werte ich in mein Baumdiagramm einfließen lassen muss, um E3 und E4 herauszufinden.

23.06.2020, 18:33

HAL 9000

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Ich gehe mal davon aus - auch wenn es im Text nicht explizit erwähnt ist - dass alle durch das Verfahren so beruhigt sind, dass sie auch die Wahrheit ankreuzen.

Wenn ich die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ... Schüler hat schon mal Drogen genommen
$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ... Schüler hat noch nie Drogen genommen (d.h. $\begin{eqnarray*} N=D^c \end{eqnarray*}$ )

sowie

$\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ ... Schüler bekommt Fragebogen 1
$\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ ... Schüler bekommt Fragebogen 2 (d.h. $\begin{eqnarray*} F_2=F_1^c \end{eqnarray*}$ )

bezeichne, dann ist $\begin{eqnarray*} J:=(F_1\cap D)\cup (F_2\cap N) \end{eqnarray*}$ das Ereignis, dass mit "Ja" geantwortet wird, und laut Aufgabenstellung sind gegeben $\begin{eqnarray*} P(F_1)=0.6 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(F_2)=0.4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(J) = 0.44 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(D\mid F_1)=P(D\mid F_2) \end{eqnarray*}$ .

Setzt man $\begin{eqnarray*} P(D\mid F_1)=P(D\mid F_2)=:p \end{eqnarray*}$ , so folgt

$\begin{eqnarray*} 0.44 = P((F_1\cap D)\cup (F_2\cap N)) = P(F_1)P(D\mid F_1) + P(F_2)P(D^c\mid F_1) = 0.6p + 0.4(1-p) \end{eqnarray*}$ ,

umgestellt $\begin{eqnarray*} p=0.2 \end{eqnarray*}$ , und es ist ja

$\begin{eqnarray*} P(D) = P(F_1)P(D\mid F_1) + P(F_2)P(D\mid F_2) = (P(F_1)+P(F_2))p = p = 0.2 \end{eqnarray*}$ .

In E3 ist einfach gesucht

$\begin{eqnarray*} P(J\mid D) = \frac{P(J\cap D)}{P(D)} = \frac{P(F_1\cap D)}{P(D)} = \frac{P(F_1)P(D\mid F_1)}{P(D)} = P(F_1) = 0.6 \end{eqnarray*}$ ,

und in E4

$\begin{eqnarray*} P(J\mid D^c) = \frac{P(J\cap D^c)}{P(D^c)} = \frac{P(F_2\cap D^c)}{P(D^c)} = \frac{P(F_2)P(D^c\mid F_2)}{P(D^c)} = P(F_2) = 0.4 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. durch diese Bedingung $\begin{eqnarray*} P(D\mid F_1)=P(D\mid F_2) \end{eqnarray*}$ gibt es hier eigentlich gar nichts zu rechnen, in E3 und E4 kommen schlicht die Fragebogenanteile von F1 und F2 heraus.

Vielleicht wird dir alles ein wenig klarer, wenn du die tatsächliche 2x2-Anzahlmatrix anschaust (rot steht für "Ja"):

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|l|c|c|}\hline &D&N\\\hline F_1&{\color{red}60}&240\\\hline F_2&40&{\color{red}160}\\\hline\end{array} \end{eqnarray*}$

24.06.2020, 08:23

Mathe 1997

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

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