Differentialgleichung

23.06.2020, 23:52

mbsukaba

Differentialgleichung

Bestimmen Sie die Lösung(en) der Differentialgleichung:

$\begin{eqnarray*} y (1+xy)dx+(1-xy) x dy = 0 \end{eqnarray*}$

Substitution soll sein

u = xy
v = x/y

Ich komme mit der dx, dy, du, dv- Schreibweise nicht zurecht.

Kann jemand bei der Subst. helfen?
(Wäre nett, wenn ich nicht wieder 2 Monate warten muss.)

24.06.2020, 07:32

Leopold

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von mbsukaba
(Wäre nett, wenn ich nicht wieder 2 Monate warten muss.)

Numme nit huddle.

Für eine Funktion $\begin{align*} f = f(x,y) \end{align*}$ ist das totale Differential $\begin{align*} \dd f = \frac{\partial f}{\partial x} ~ \dd x + \frac{\partial f}{\partial y} ~ \dd y \end{align*}$

Für $\begin{align*} u = xy \end{align*}$ gilt daher $\begin{align*} \dd u = y ~ \dd x + x ~ \dd y \end{align*}$ .

Und für $\begin{align*} v = \frac{x}{y} \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \dd v = \frac{1}{y} ~ \dd x - \frac{x}{y^2} ~ \dd y \end{align*}$ .

Wenn man die gegebene Differentialgleichung vollständig ausmultipliziert und die Summanden umgruppiert, erkennt man bei zwei Summanden gleich $\begin{align*} \dd u \end{align*}$ wieder. Bei den beiden andern Summanden klammert man $\begin{align*} xy^3 \end{align*}$ aus und erkennt $\begin{align*} \dd v \end{align*}$ . Und was in $\begin{align*} x,y \end{align*}$ noch übrigbleibt, kann durch einen einfachen rationalen Term in $\begin{align*} u,v \end{align*}$ . ausgedrückt werden.

24.06.2020, 17:55

mbsukaba

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An der Uni rechnest Du nicht mit totalen Differentialen, aber wenn ich Dich richtig verstehe ist das ganz normal die Produkt- und Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} u(x) = xy<br /> u' = xy'+y \end{eqnarray*}$

Und mit der FH-Schreibweise

$\begin{eqnarray*} du/dx = x dy/dx+y \end{eqnarray*}$

Und dann mit dx multipliziert; gleiches bei

$\begin{eqnarray*} u(x) = x/y \end{eqnarray*}$

Richtig soweit?

Und:

Die Subst. mit v ist doch völlig überflüssig, die mit u reicht doch aus um die Dgl. zu lösen.

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