Intervall mit Tschebyscheff'scher Ungleichung

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Stochastikneuling Auf diesen Beitrag antworten »
Intervall mit Tschebyscheff'scher Ungleichung
Meine Frage:
X sei das zufällige Gewicht eines Schokoriegels in Gramm. Die Varianz von X sei 4g^2, Der Erwartungswert 120g.
Finden Sie mithilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung ein Interval, in welches das Gewicht mindestens 90% aller Schokoladenriegel fällt.



Meine Ideen:
Erwartungswert = 120g und Varianz = 4g^2
Dann habe ich mir gedacht, dass folgendes gelten muss
Dann habe ich die Werte eingesetzt und erhalte . Stimmt das erstmal so und wie komme ich jetzt auf das Intervall?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ist das richtig, du musst natürlich noch die Quadratwurzel ziehen, um an selbst zu gelangen.

Was das Intervall betrifft: Ereignis ist (per äquivalenter Umformung) gleichbedeutend mit





.

Das beantwortet hoffentlich deine Frage, nach welchem Intervall hier gesucht ist.
Stochastikneuling Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke das beantwortet meine Frage.


Ich hätte noch eine andere Frage: Und zwar soll ich für X ~ N(0,1) die Wahrscheinlichkeit P(-k<X<k), k={1,5,100} bestimmen. Dies soll ich dann mit der Abschätzung vergleichen, die sich aus der Tschebyscheffschen Ungleichung ergibt.

Die Wahrscheinlichkeiten habe ich über die Standardnormalverteilung bestimmt. Aber ich verstehe nicht, was sich aus der Tschebyscheffschen Ungleichung ergibt. Ist mein Erwartungswert dann auch 0 und meine Varianz 1?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist , damit ergibt Tschebyscheff in dem Fall .

Interessanter ist m.E., den tatsächlichen Wahrscheinlichkeitswert im Fall anzugeben, besser als Differenz zu 1, d.h. . Ist eine verdammt kleine Zahl... smile
Stochastikneuling Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir gerade nicht so sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe. Also muss ich die Wahrscheinlichkeit auf 2 verschiedene Arten berechnen? Was soll ich am Ende vergleichen?
Stochastikneuling Auf diesen Beitrag antworten »

Am Beispiel k=1. Dann erhalte ich für die Wahrscheinlichkeit mit der Normalverteilung 0,6826. Und dann erhalte ich mit der Tschebyscheffen Ungleichung 0?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, BERECHNET wird diese Wahrscheinlichkeit mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Die Tschebyscheff-Ungleichung liefert hingegen nur die ABSCHÄTZUNG dieser Wahrscheinlichkeit nach einer Seite.

Zitat:
Original von Stochastikneuling
Und dann erhalte ich mit der Tschebyscheffen Ungleichung 0?

Genauer gesagt erhältst du . Eine zweifelsohne richtige Aussage, aber ohne wirklichen Informationsgehalt. smile
Stochastikneuling Auf diesen Beitrag antworten »

Also für k=1 erhalte ich mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung 0,8413. Das heißt die Abschätzung beträgt dann 0.

Dann nochmal an einem anderen Beispiel, z.B. k=3. Dann erhalte ich mit der Verteilungsfunktion 0,9973. Mit der Tschebyscheffen Ungleichung erhalte ich dann eine Abschätzung von 0,88?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Diese Aufgabe verdeutlicht, dass die Abschätzung per Tschebyscheff zwar stimmt, aber eben nicht besonders gut sein muss.

Der Zweck von Tschebyscheff ist ja auch gar nicht die Wahrscheinlichkeitsberechnung für konkrete Verteilungen, sondern eine Abschätzung solcher Wahrscheinlichkeiten OHNE Kenntnis der Verteilung, sondern nur von deren Parametern Erwartungswert sowie Varianz. Das ist vor allem in diversen Beweisen hilfreich, z.B. rund um das Gesetz der großen Zahlen, den Zentralen Grenzwertsatz, oder Aussagen zu den diversen stochastischen Grenzwerten.
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