Ungleichungsfunktion unverständlich

24.06.2020, 16:55	near	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungsfunktion unverständlich Meine Frage: Hallo liebes matheboard, Ich stehe gerade bei meinen Hausaufgaben sehr auf dem Schlauch. Ich muss in Theoretischer Informatik mit einer Sprache arbeiten, allerdings ist diese so komisch definiert (oder ich stelle mich einfach dumm an), dass ich absolut nicht verstehe wie sie aufgebaut ist. $\begin{eqnarray} L=\{c^{2t(n)}\mid n\in\mathbb N\} wobei\ t:\mathbb N \rightarrow \mathbb N\ eine\ Funktion\ ist\ mit\ 3t(n)+n^2 < t(n+1)\ für\ alle\ n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Nur kurz zum Verständnis, da das hier ja eigentlich ein Mathe-Board ist eine Sprache $\begin{eqnarray} c^{2n} \end{eqnarray}$ bestünde zB aus den Wörtern mit 0,2,4,6 usw. c's. Diese Potenz und die nachfolgenden Regeln geben mir also vor welche Wörter die Sprache bauen kann, allerdings verstehe ich hier wirklich absolut nicht wie viele c's das Wort hat wenn ich zB n=2 nehme. Vielen Dank schon mal für eure Hilfe! Meine Ideen: Das $\begin{eqnarray} 2t(n) \end{eqnarray}$ verstehe ich als das Ergebnis der Funktion t für n mal zwei. Das Problem ist nun, dass ich danach nicht begreife wie für t(n) ein Ergebnis zustandekommt, zumal die Funktion sich scheinbar selbst aufruft und noch dazu eine Ungleichung ist was nicht gerade mein Fachgebiet ist.
24.06.2020, 17:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Funktion in Theoretischer Informatik unverständlich Die Funktion $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist nicht definiert, sondern nur beschrieben, was sie erfüllt. In Worten: $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ wächst sehr schnell. Ein Beispiel einer solchen Funktion ist $\begin{eqnarray} t(n) = 9^n \end{eqnarray}$ . Für diese Wahl ergibt es die Menge $\begin{eqnarray} L = \{ c^2, c^{18}, c^{162}, \ldots \} \end{eqnarray}$ . Wie du merkst wächst der Exponent der $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ rapide. Du kannst es bloss für allgemeines $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nicht nett aufschreiben. Alles was du weißt ist, dass du extrem viele Längen überspringst.
24.06.2020, 19:01	near	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Funktion in Theoretischer Informatik unverständlich Hallo IfindU vielen Dank für die Antwort. Wenn ich dich richtig verstanden habe gibt das $\begin{eqnarray} 3t(n)+n^2 < t(n+1) \end{eqnarray}$ also an um wie viel größer die Funktion für eben dieses nächste $\begin{eqnarray} t(n+1) \end{eqnarray}$ im Vergleich zu $\begin{eqnarray} t(n) \end{eqnarray}$ sein muss. Jetzt verstehe ich so ungefähr wie die Aufgabe gemeint ist und kann damit weiterarbeiten vielen Dank
24.06.2020, 19:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung Funktion in Theoretischer Informatik unverständlich Das hast du richtig verstanden Die Funktion $\begin{eqnarray} t(n) = 3^n \end{eqnarray}$ erfüllt $\begin{eqnarray} 3t(n) = t(n+1) \end{eqnarray}$ . Da bei dir sogar strikte Ungleichung gilt, nachdem man links noch etwas positives addiert, wächst es also schneller als diese exponentiell-wachsendes $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ .
24.06.2020, 20:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen wir besser "mindestens so schnell" statt "schneller": Die Funktion $\begin{eqnarray} t(n) = C\cdot 3^n - \frac{n(n+1)}{2} - 1 \end{eqnarray}$ erfüllt die Differenzengleichung $\begin{eqnarray} t(n+1) = 3t(n) + n^2+1 \end{eqnarray}$ . Wählt man $\begin{eqnarray} C=1 \end{eqnarray}$ , so entspräche das Startwert $\begin{eqnarray} t(0)=0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t(1)=1 \end{eqnarray}$ .
24.06.2020, 20:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL, intuitiv dachte ich es ich tatsächlich, dass es schneller wachsen müsste.
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