Lösung des Randwertproblems

24.06.2020, 18:30

Knightfire12345

Lösung des Randwertproblems

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} -u^{\prime \prime}+u=e^{-|x|} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} u(x)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
In der Lösung steht folgendes:
Aus dem ersten Teil
$\begin{eqnarray*} P(iw) = w^{2}\widehat u+\widehat u \end{eqnarray*}$
Mit Fourier erhält man
$\begin{eqnarray*} e^{-|x|} = \frac{2}{i+w^{2}} \end{eqnarray*}$
zusammengefasst erhält man:
$\begin{eqnarray*} \widehat u=2 \cdot \frac{1}{\left(1+w^{2}\right)} \frac{1}{\left(1+w^{2}\right)} \end{eqnarray*}$
die Faltung berechnet mit $\begin{eqnarray*} f(x-y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(y) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} u(x)=(2 f * f)(x)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x-y|} e^{-|y|} d y \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g = e^{-x} \end{eqnarray*}$
Aber mit Laplacerücktranformation erhält man das nicht aus $\begin{eqnarray*} 2/(1-w^2) \end{eqnarray*}$ .
Wie kommt man dadrauf?
Und woher kommt das 1/2?

Gruß

LaTeX-Tags ergänzt. Allerdings sieht noch nicht alles korrekt aus.

26.06.2020, 15:12

Knightfire66

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RE: Lösung des Randwertproblems
hallo,
danke fürs ergänzen der formel.
ich habe die aufgabe fast gelöst.
die probleme sind die integralgenzen und die Potenzen von e am ende in der musterlösung.
ich verstehe nicht wie man drauf kommt.
ich poste nur ein foto, weil es zu viel arbeit wäre alles abzutippen.
[attach]51585[/attach]
mfg

27.06.2020, 07:52

IfindU

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RE: Lösung des Randwertproblems
Du versuchst ein Integral auszuwerten, wo die Terme $\begin{eqnarray*} |x-y| \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |y| \end{eqnarray*}$ vorkommen. Um entscheiden zu können, wo es $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y-x \end{eqnarray*}$ ist (bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -y \end{eqnarray*}$ ) ist, musst du schauen wo $\begin{eqnarray*} x-y \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-y <0 \end{eqnarray*}$ ist und analog wo $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ und wo $\begin{eqnarray*} y < 0 \end{eqnarray*}$ ist.

So ist z.B. $\begin{eqnarray*} x -y \geq 0 \iff x \geq y \end{eqnarray*}$ . D.h. wenn wir ein vereinfachtes Integral haben (bitte ignorieren, dass es in dieser Form divergiert und es also formale Rechnung ansehen) $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{|x-y|} dy = \int_{-\infty}^{x} e^{|x-y|} dy + \int_{x}^{\infty} e^{|x-y|} dy \end{eqnarray*}$ . Dank der Fallunterscheidung ist dann $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{x} e^{|x-y|} dy = \int_{-\infty}^{x} e^{x-y} dy \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{x}^{\infty} e^{|x-y|} dy = \int_{x}^{\infty} e^{y-x} dy \end{eqnarray*}$ .

Das ganze muss noch mit der Bedingung um das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ harmonisiert werden, da wir im Integral noch einen weiteren Term haben.

Soviel zur Idee. Die explizite Fallunterscheidung ist im zweiten Fall mit wenigstens zwei Tippfehler (fehlendes +/- zwischen den letzten Integralen) sowie $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Integral o.ä.
Ansonsten würde es divergieren, ähnlich wie mein Beispiel oben.

27.06.2020, 15:16

Knightfire66

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RE: Lösung des Randwertproblems
das stimmt das letzte integral scheint zu divergieren...
aber es hieß doch oben u(x) = 0 für +- unendlich... also würde das rausfallen?

anders konnte ich mir das nicht erklären...

wenn falsch ist, was kommt da wohl rein?

und deine idee habe ich nicht ganz verstanden. eine einfache fallunterscheidung ist klar. |x| kann -x und +x sein.

aber hier haben wir 2 verschiede |...|
und da würde es doch folgende fälle geben: ++, --, +-, -+
aber hier ist es nicht der fall? oder sind andere unwichtige fälle hier rausgefallen?
wir haben jeweils nur 3 fälle für x>= 0 und <=0 und beim zweiten haben wir zwei mal den fall --

könntest du das anhand vom ersten integral erklären?

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{0} e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy = \int_{-\infty}^{0} e^{2y-x} dy \end{eqnarray*}$

hier ist |x-y| = (x-y) und |y| = -y. also haben wir den fall +-

worauf muss ich genau hierbei achten?

mfg

27.06.2020, 16:26

IfindU

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RE: Lösung des Randwertproblems
Du hast
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{0} e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy = \int_{-\infty}^{0} e^{2y-x} dy = \frac 1 2 [ e^{2y - x}]_{-\infty}^0 = \frac 1 2 ( e^{0 -x} - 0) = \frac {e^{-x}} 2 \end{eqnarray*}$ .

Dann haben wir $\begin{eqnarray*} \int_0^x e^{-x} dy = e^{-x} \int_0^x 1 dy = e^{-x} \cdot x \end{eqnarray*}$ . Das letzte Integral ist $\begin{eqnarray*} \int_x^{\infty} e^{x - 2y} dy = \frac 1 {-2} [ e^{x - 2y}]_{x}^\infty = \frac 1 {-2} [ 0 - e^{x - 2x}] = \frac 1 2 e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

Alles zusammen ist dann $\begin{eqnarray*} e^{-x} (1 + x) \end{eqnarray*}$ . Was genau das Ergebnis des Arbeitsblattes ist.

Bei $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ muss man die Fallunterscheidungen noch einmal sauber aufschreiben und analog ausrechnen.

03.07.2020, 18:52

Knightfire66

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RE: Lösung des Randwertproblems
hallo,

ich weiß wie ich die integrale ausrechne. darum geht es mir nicht.

ich weiß nur nicht wieso die beträge so gewählt wurdeb. also +-, ++ und das dritte -+...

ich habe jeweils alle fälle für die einzelnen integrale ausgerechnet und zusammengefasst.

ich kam nicht auf das ergebnis.

also zB für $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{0} \end{eqnarray*}$ einmal ++, --, +- und -+. und dann für 0 bis x und x bis unendlich... dann alles addieren... es kommt 0 raus.

mfg

03.07.2020, 19:12

IfindU

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Da der Integrand positiv ist, wird das Integral sicher nicht 0 sein.

Für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} (-\infty, \infty) = (-\infty, x) \cup (x, 0) \cup (0,\infty) \end{eqnarray*}$ und hier somit $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy &=& \int_{-\infty}^x e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy + \int_{x}^0 e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy + \int^{-\infty}_0 e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy \\ &=& \int_{-\infty}^x e^{y-x}e^{y} dy + \int_{x}^0 e^{x-y}e^{y} dy + \int^{\infty}_0 e^{x-y}e^{-y} dy \end{eqnarray*}$ .

04.07.2020, 15:51

Knightfire66

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also war der von mir beschriebene ansatz richtig?

dann habe ich wohl rechenfehler gehabt. ich rechne es später nochmal aus.

mfg

06.07.2020, 15:32

Knightfire66

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Zitat:

also war der von mir beschriebene ansatz richtig?

ja?

06.07.2020, 15:48

IfindU

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Ich weiß nicht was du mit deinem "von dir beschriebenen Ansatz" meinst. Was heißt denn aufgeteilt in ++, +- usw.?

Nach der Fallunterscheidung (habe ich bereits vorgenommen), hast du drei einfache Integrale, welche du mit Vereinfachen und bilden einer Stammfunktion leicht lösen kannst.

31.07.2020, 20:48

Knightfire66

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy &=& \int_{-\infty}^x e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy + \int_{x}^0 e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy + \int^{-\infty}_0 e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy \\ &=& \int_{-\infty}^x e^{y-x}e^{y} dy + \int_{x}^0 e^{x-y}e^{y} dy + \int^{\infty}_0 e^{x-y}e^{-y} dy<br /> \end{eqnarray*}$

Also beim ersten integral beim zweiten e.

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^x e^{-|x-y|}e^{-|y|} dy =\int_{x}^0 e^{x-y}e^{y} dy \end{eqnarray*}$

wieso wird -|y| zu y? und nicht -y? und den betrag im exponenten des ersten e verstehe ich auch nicht.

woher weiß man das?

deshalb war ja die frage. muss ich für alle integrale alle fälle ausrechnen und kürzt sich alles andere raus? -und nein das stimmt wohl nicht. da ich nicht auf diese integrale am ende komme.

mfg

01.08.2020, 08:27

IfindU

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Im ersten Integral haben wir $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty < y < x \end{eqnarray*}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} y < 0 \end{eqnarray*}$ . Per Definition ist
$\begin{eqnarray*} |z| = \begin{cases} z & \text{ wenn } z \geq 0 \\ - z & \text{ wenn } z < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist für $\begin{eqnarray*} y <0 \end{eqnarray*}$ der Definition $\begin{eqnarray*} -y \end{eqnarray*}$ . Nun steht im Exponenten $\begin{eqnarray*} -|y| \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} -|y| = - (-y) =y \end{eqnarray*}$ .

Ähnlich folgt aus $\begin{eqnarray*} y < x \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} 0 < x - y \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} |x- y| = x -y \end{eqnarray*}$ . Da im Exponenten $\begin{eqnarray*} -|x-y| \end{eqnarray*}$ steht, wird damit zusammen $\begin{eqnarray*} - | x - y| = - (x-y) = y-x \end{eqnarray*}$ .

Alles nur eine Frage $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in Beziehung zu den Integralgrenzen setzen und die Definition vom Betrag einsetzen.

12.08.2020, 15:00

Knightfire66

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ok jetzt macht es sinn. genau das war mein Problem. ich wusste die zusammenhänge nicht.

Vielen dank

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