Fourier-Integrale zusammenfassen, warum Betrag?

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25.06.2020, 02:53	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \hat{S} = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t') {e}^{-j2\pi \left(\frac{f}{a}\right)t'} dt' + \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t') {e}^{-j2\pi \left(\frac{f}{-a}\right)t'} dt' \end{eqnarray}$ Und da soll raus kommen: $\begin{eqnarray} \hat{S} = \frac{1}{\|a\|} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{a}\right)t'}dt' \end{eqnarray}$ Wie kommt man darauf ?
25.06.2020, 12:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht falsch aus. Für $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ stimmen die ersten Integrale in beiden Termen überein und damit müsste das zweite Integral 0 werden. Aus Symmetrie verschwindet als das erste für $\begin{eqnarray} a<0 \end{eqnarray}$ .
25.06.2020, 13:30	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sollen aber die beiden Integrale $\begin{eqnarray} <br /> \hat{S} = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{a}\right)t'} dt' <br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> \hat{S} = \frac{1}{-a} \int_{+\infty}^{-\infty} s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{-a}\right)t'} dt' <br /> \hat{S} = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{-a}\right)t'} dt' <br /> \end{eqnarray}$ zusammengefasst werden und dabei soll dann halt rauskommen: $\begin{eqnarray} \hat{S} = \frac{1}{\|a\|} \int_{-\infty}^{+\infty} s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{a}\right)t'} dt' \end{eqnarray}$ Du hast ja gesagt wenn a > 0 ist dann verschwindet ja der zweite Integralterm, aber gerade das steht so nicht im Skript. Die sollen zusammengefasst, dass letzte Integral ergeben.
25.06.2020, 13:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinem letzten Post hast du vier Gleichheiten für $\begin{eqnarray} \widehat S \end{eqnarray}$ geschrieben. Gelten tatsächlich alle überall, oder gelten gewisse nur für spezielle $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ? Hast du am besten den Originalausschnitt der Aussage?
25.06.2020, 13:51	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja undzwar gilt für das erste Integral wenn a > 0 ist und dann zweite Integral wenn a < 0 ist aber ich verstehe nicht was das mit dem zusammengefassten zu tun hat.
25.06.2020, 13:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Definition des Betrags ist $\begin{eqnarray} \hat{S} = \frac{1}{\|a\|} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{a}\right)t'}dt' = \begin{cases} \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{a}\right)t'}dt' & \text{ falls } a > 0\\ \frac{1}{-a} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{a}\right)t'}dt'& \text{ falls } a < 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ . Zusammenfassen heißt hier also nicht addieren, bloss ohne "direkte" Fallunterscheidung aufschreiben.
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25.06.2020, 15:13	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ding ist aber das in einem Integral im Exponenten der e Funktion das a aber negativ ist also: $\begin{eqnarray} \hat{S} = \frac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}s(t) {e}^{-j2\pi \left(\frac{f}{-a}\right)t'} dt' \end{eqnarray}$ was ist denn mit dem -a aus $\begin{eqnarray} \left(\frac{f}{-a}\right) \end{eqnarray}$ passiert ? Also warum wird es bei dir positiv ?
25.06.2020, 15:25	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
und auserdem, steht da ja nicht $\begin{eqnarray} <br /> \hat{S} = \frac{1}{-a} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t){e}^{-j2\pi \left(\frac{f}{a}\right)t'}dt'<br /> \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} <br /> \hat{S} = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t){e}^{-j2\pi \left(\frac{f}{-a}\right)t'}dt'<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich das minus bei 1/a dem a zuweise, dann drehen sich die Integrationsgrenzen ja um, daher kann man das ja so wie du es hingeschrieben hast nicht machen.
25.06.2020, 15:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nur deinen Term vom ersten Post aufgespalten. Wenn das nicht zu den Bestandteilen passt, ist die Aussage falsch. Daher erneut die Bitte den Originalausschnitt zu posten. So ist es ein großes Ratespiel.
25.06.2020, 18:45	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Das steht so im Skript. [attach]51581[/attach] In rot sind die Sachen, die ich nicht verstanden habe
25.06.2020, 20:12	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus Urheberrechtsgründen kann ich den Original Ausschnit leider nicht öffentlich teilen. Ich hoffe das du das verstehst.
25.06.2020, 22:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Folgerung in der ersten Zeile sollten vermutlich noch ein Betrag bei $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ haben. Dann stimmt es. Ohne weitere Annahmen ist die Zusammenfassung dennoch falsch. Wir hätten allerdings $\begin{eqnarray} \hat{S}(f) = \frac{1}{\|a\|} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{\|a\|}\right)t'}dt' = \begin{cases} \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{a}\right)t'}dt' & \text{ falls } a > 0\\ \frac{1}{-a} \int_{-\infty}^{+\infty}s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{-a}\right)t'}dt'& \text{ falls } a < 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ . Wenn wir wissen, dass $\begin{eqnarray} s(-t) = s(t) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , d.h. gerade ist, so kann man mit Substitution auch die Aussage aus dem Screenshot erhalten. Ohne weitere Annahmen an $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ sehe ich wenig Hoffnung.
26.06.2020, 12:54	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuch es trotzdem nochmal. Diesmal mit etwas mehr Text vom Skript, in der Hoffnung das es nun etwas klarer wird. [attach]51583[/attach] Die Fragezeichen sind wieder wie bisher.
26.06.2020, 16:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das in dem Bild stimmt, ist aber für mich ziemlich konfus geschrieben, da in beiden Fällen $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ angesetzt wird. Etwas bessere fände ich $\begin{eqnarray} s(at) \end{eqnarray}$ zu betrachten mit $\begin{eqnarray} a < 0 \end{eqnarray}$ . Dann kann man setzen $\begin{eqnarray} b = -a > 0 \end{eqnarray}$ . Beachte, dass $\begin{eqnarray} b = \|a\| \end{eqnarray}$ . Achtung, das ist deutlich andere Notation als auf dem Blatt! Dann ist in (2-50): $\begin{eqnarray} \widehat S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(at) e^{ j 2\pi f t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} s(-bt) e^{ j 2\pi f t} dt \end{eqnarray}$ . Folgt man die Rechnung wie auf dem Blatt bekommt man dann $\begin{eqnarray} \widehat S(f) = \ldots = \frac 1 b \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{ j 2\pi \frac f{-b} t} dt = \frac 1 {\|a\|} \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{ j 2\pi \frac f{a} t} dt \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} a >0 \end{eqnarray}$ hast du in (2-48) gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \widehat S(f) = \frac 1 {a} \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{ j 2\pi \frac f{a} t} dt \end{eqnarray}$ . Insb. ist dank $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} a = \|a\| \end{eqnarray}$ und demnach auch $\begin{eqnarray} \widehat S(f) = \frac 1 {\|a\|} \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{ j 2\pi \frac f{a} t} dt \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} a<0 \end{eqnarray}$ habe ich gerade gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \widehat S(f) = \frac 1 {\|a\|} \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{ j 2\pi \frac f{a} t} dt \end{eqnarray}$ . D.h. unabhängig davon, ob $\begin{eqnarray} a < 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a >0 \end{eqnarray}$ ist, ist $\begin{eqnarray} \widehat S(f) = \frac 1 {\|a\|} \int_{-\infty}^{\infty} s(t) e^{ j 2\pi \frac f{a} t} dt \end{eqnarray}$ . Dass man in beiden Fällen in der Rechnung $\begin{eqnarray} a >0 \end{eqnarray}$ hatte, kommt mir nicht intuitiv vor. Aber die Rechnung stimmt natürlich.
26.06.2020, 16:34	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Vor allem steht noch bei $\begin{eqnarray} \hat{S} = \frac{1}{\|a\|}\int_{-\infty}^{+\infty}s(t'){e}^{-j2\pi\left(\frac{f}{a}\right)t'}dt' (a \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$
26.06.2020, 16:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ sollte man ausschließen, da man gleich zweimal durch 0 teilen würde. Ansonsten hat man mit den Fall $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a < 0 \end{eqnarray}$ alle weiteren reellen Zahlen abgehandelt. Wie gesagt, mag ich die Notation in der Vorlesung/Musterlösung nicht.

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