Zeigen, dass es einen solchen Unterraum nicht geben kann

25.06.2020, 08:06

max2919191

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Zeigen, dass es einen solchen Unterraum nicht geben kann

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb{Z}^{2020}_{17} \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass es kein Unterraum M mit 4911 Elementen geben kann.

Meine Ideen:
Ich hab mal den Grundsatz gehört "Wenn du keine Ahnung hast, probierst du einen Widerspruchsbeweis". Wenn ich aber Annehme, dass es einen solchen Teilraum gibt, dann muss es ja auch einen Teilraum V-M geben. Aber das führt mich nicht all zu weit.

Ich hab auch drüber nachgedacht, in wie weit die Anzahl der Elemente eine Rolle spielt, aber ich bin mir nicht sicher die die Anzahl exemplarisch ist, es also nicht darauf an kommt.

25.06.2020, 08:15

IfindU

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RE: Zeigen, dass es einen solchen Unterraum nicht geben kann

Zitat:

Original von max2919191
Ich hab auch drüber nachgedacht, in wie weit die Anzahl der Elemente eine Rolle spielt, aber ich bin mir nicht sicher die die Anzahl exemplarisch ist, es also nicht darauf an kommt.

Kaum, aber es gibt natürlich Unterräume. Der Schlüssel hier ist der Satz von Lagrange.

25.06.2020, 10:00

max2919191

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Den Satz von Lagrange haben wir nicht behandelt. Wärst du so nett und würdest mir den anhand eines kurzes Beispieles erklären?

25.06.2020, 10:03

IfindU

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Der Satz sagt aus, dass Untergruppen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nur spezielle Mächtigkeiten haben können. Konkret heißt es die Anzahl der Elemente in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ muss ein Teiler der Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sein.

D.h. Beispiel $\begin{eqnarray*} Z_4 \end{eqnarray*}$ kann keine Untergruppe mit 3 Elementen enthalten, da $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ kein Teiler von $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ist.

25.06.2020, 11:09

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Man kann auch ganz innerhalb der Vektorraumtheorie bleiben und einfach abzählen, wie viele Elemente ein Vektorraum der Dimension n über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z _{17} \end{eqnarray*}$ hat.

25.06.2020, 11:40

max2919191

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Meinst du das?

V hat 34340 Elemente davon 4911 abzogen macht 29429. Nun gibt es aber kein $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^x_y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \leq 2020 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \leq 17 \end{eqnarray*}$ für die ein Vektorraum mit 29429 Elemtenten Existiert (da dies eine Primzahl ist).

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25.06.2020, 12:09

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Den Teilraum V-M brauchst du nicht und bei der Subtraktion der Anzahl der Elemente muss man den Nullvektor beachten, der in beiden Räumen enthalten ist.
Die Anzahl der Elemente von V ist sehr viel größer als 2020*17. Für jeden Koeffizienten in einer Linearkombination der Basisvektoren hast du 17 Möglichkeiten.
Das angewandt auf einen n-dimensionalen Unterraum gibt die Anzahl der Elemente im einem solchen Unterraum. Jetzt begründe, warum das nicht 4911 sein kann.

25.06.2020, 12:16

max2919191

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Tut mir leid aber ich verstehe nicht was ich tun soll.

25.06.2020, 12:20

max2919191

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Meinst du das es kein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} n * 17 = 4911 \end{eqnarray*}$ ?

25.06.2020, 12:24

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Darauf läuft es hinaus.
Was ist die Anzahl der Elemente in einem n-dimensionalen Unterraum?

25.06.2020, 12:34

max2919191

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Ich würde sagen die Anzahl der Elemente die mir mein Körper zur Verfügung stellt mal die Dimension des Unterraums.

25.06.2020, 12:43

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Es sind nicht $\begin{eqnarray*} 17n \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 17^n \end{eqnarray*}$ oder allgemein $\begin{eqnarray*} |K|^n \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} |K| \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Elemente des endlichen Körpers $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist.

25.06.2020, 12:50

max2919191

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Das heißt also es gibt kein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ welches $\begin{eqnarray*} |M|^n = 4911 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |M| = 17 \end{eqnarray*}$ erfüllt? Also gäbe es dann aber ein Unterraum N mit 4193 Elementen, da $\begin{eqnarray*} 17^n = 4913, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt?

25.06.2020, 12:58

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So ist es (auch wenn du es ziemlich schräg formuliert hast).

25.06.2020, 13:00

max2919191

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Ja, war jetzt schon ein langer Tag Hammer

Hammer

Dir vielen dank für deine Geduld. Ich wünsch dir was.

25.06.2020, 13:03

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Gern geschehen Wink

Wink

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