Zahlentheorie

25.06.2020, 09:08

franzqwer1

Zahlentheorie

Es gibt in der Zahlentheorie eine bestimmte gesuchte Eigenschaft.
Und die Zahl 30 ist die größte Zahl mit dieser Eigenschaft.

25.06.2020, 09:38

G250620

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zahlentheorie
Wie lautet die konkrete Frage? verwirrt

Suchst du die größte Zahl, die genau 30 Teiler hat?

25.06.2020, 09:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutung
$\begin{eqnarray*} n=30 \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl, so dass alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1<m<n \end{eqnarray*}$ , welche teilerfremd zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sind, auch Primzahlen sind.

Ob allerdings 30 die größte Zahl mit dieser Eigenschaft ist, da bin ich mir nicht ganz sicher. verwirrt

25.06.2020, 09:55

franzqwer1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vermutung
Richtig!

Und es ist auch die größte, wie mir ein anderer Mathematiker erzählte.
Außerdem habe ich gerade gesehen, dass dies auch in der englischsprachigen Wikipedia steht.

25.06.2020, 13:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von franzqwer1
Außerdem habe ich gerade gesehen, dass dies auch in der englischsprachigen Wikipedia steht.

In welchem Artikel genau? verwirrt

Ich hab mal darüber nachgedacht, wie man diese Behauptung beweisen könnte. Eine solche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ muss ja die Eigenschaft haben, dass alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} p\leq\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich Primteiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sind, denn andernfalls wäre mit $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ eine Zahl gefunden, welche zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilerfremd ist und $\begin{eqnarray*} p^2<n \end{eqnarray*}$ erfüllt! (*)

Schauen wir uns nun die Primzahlfolge $\begin{eqnarray*} (p_m) \end{eqnarray*}$ an (d.h. mit $\begin{eqnarray*} p_1=2,p_2=3,p_3=5,\ldots \end{eqnarray*}$ ) und irgendeine Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_m^2\leq n < p_{m+1}^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir nun nachweisen können, dass

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^m p_k > p_{m+1}^2\qquad (**) \end{eqnarray*}$

gilt, dann kann dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ offenbar nicht Bedingung (*) erfüllen. Nun gilt (**) zwar nicht für alle $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , aber zumindest für $\begin{eqnarray*} m\geq 4 \end{eqnarray*}$ :

Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} p_1p_2p_3p_4=210 > 121 = p_5^2 \end{eqnarray*}$ klar.

Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} m\to m+1 \end{eqnarray*}$ wendet man den Satz von Bertrand-Tschebyschow an. Laut dem ist $\begin{eqnarray*} p_{m+2} < 2p_{m+1} \end{eqnarray*}$ und folglich wegen $\begin{eqnarray*} p_{m+1}\geq p_5 > 4 \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{m+1} p_k = \prod_{k=1}^m p_k\cdot p_{m+1}\stackrel{IV}{\geq} p_{m+1}^3 > 4p_{m+1}^2 > p_{m+2}^2 \end{eqnarray*}$ .

Bleiben damit nur noch die Zahlen $\begin{eqnarray*} n < p_4^2 = 49 \end{eqnarray*}$ übrig:

$\begin{eqnarray*} 25\leq n < 49 \end{eqnarray*}$ : Laut (*) müssen die durch 30 teilbar sein, das erfüllt nur $\begin{eqnarray*} n=30 \end{eqnarray*}$ . Und ist damit auch das größte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ welches (*) erfüllt.

Neue Frage »

Antworten »

Zahlentheorie

Verwandte Themen