Isomorphie Funktionenraum

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25.06.2020, 10:45	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie Funktionenraum Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe: Sei ABB(X,K) und ABB(Y,K) K-Vektorräume. Weiter existiert eine bijjektive Abbildung f: X -> Y. Zeige, dass dann die Vektorräume Isomorph sind. Meine Ideen: Mir fehlt dazu jeglicher Ansatz. Die Begriffe sind mir alle klar denke mal ich muss entweder zeigen, dass die beiden Vektorräume die selbe Dimension haben, oder dass es eine bijjektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Nur weiß ich nicht so ganz wie ich überhaupt anfangen soll.
25.06.2020, 11:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphie Funktionenraum Für $\begin{eqnarray} \varphi \in Abb(Y,K) \end{eqnarray}$ betrachte die Komposition $\begin{eqnarray} \varphi \circ f \end{eqnarray}$ Der Nachweis gleicher Dimensionen ist nur bei endlichdimensionalen Vektorräumen zielführend.
25.06.2020, 11:38	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Zusammenhang verseteh ich nicht so ganz. Also die Komposition $\begin{eqnarray} (\phi \circ f)(x) \end{eqnarray}$ bildet ja in K ab und liegt in ABB(X,K). Ich kann nicht davon ausgehen, dass die Komposition bijektiv ist da ich ja nicht weiß ob $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bijektiv ist oder?
25.06.2020, 12:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Komposition $\begin{eqnarray} \varphi \circ f \end{eqnarray}$ muss auch nicht bijektiv sein. Es geht um die Frage, ob die Abbildung $\begin{eqnarray} T: Abb(Y,K)\to Abb(X,K), \varphi \mapsto \varphi\circ f \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus ist.
25.06.2020, 12:25	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
T muss dann doch bijektiv sein damit es ein Isomorphismus ist oder nicht? Also muss ich zeigen dass es eine bijjektive Abbildung zwischen den zwei Vektorräumen gibt. Damit bin ich aber wieder am Anfang. Weiß nicht wie ich zeigen soll, dass eine solche existiert.
25.06.2020, 12:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nachweist, dass $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus ist, dann bist du doch fertig. Ich verstehe dein Problem nicht
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25.06.2020, 12:57	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das Nachweise. Ich versuche es mal nochmal: Also ich habe die beiden K-Vektorräume Abb(X,K) und Abb(Y,K) gegeben. Außerdem existiert eine bijektive Abbildung f: X -> Y. Jetzt muss ich zeigen, dass Abb(X,K) und Abb(Y,K) isomorph sind. Dazu muss ich zeigen, dass eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray} T: Abb(X,K) \to ABB(Y,K) \end{eqnarray}$ existiert. Ist das soweit richtig? Und wenn ja wie kann ich jetzt zeigen, dass so eine Abbildung tatsächlich existiert? Kann sein dass ich etwas aufm Schlauch stehe, aber ich verstehe nicht so ganz wie ich mit der Komposition die du mir geraten hast darauf komme.
25.06.2020, 13:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ geht von $\begin{eqnarray} Abb(Y,K) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} Abb(X,K) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \varphi \in Abb(Y,K) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} T(\varphi) := \varphi \circ f \end{eqnarray}$
25.06.2020, 13:13	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich glaube ich bin gearde etwas zu doof dafür. Wieso kann ich jetzt davon ausgehen, dass T ein Isomorphismus ist? Muss ich dass nicht noch irgendwie zeigen?
25.06.2020, 13:24	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade du hast davor ja geschrieben, dass man nachweisen muss das T ein Isomorphismus ist. Dazu muss ich ja zeigen, dass T 1. eine lineare Abbildung ist und 2. bijektiv ist. Das T linear ist kann man ja leicht nachweisen. Aber wie kann ich jetzt nachweisen das T bijektiv ist?
25.06.2020, 13:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem man mal damit anfängt... Also zeigen, dass T injektiv und surjektiv ist.
25.06.2020, 14:19	Nub._	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist ein guter Anfang. War doch gar nicht so schwer Bijektivität zu zeigen. Vielen Dank für deine Gedult mit mir.

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