Dimension des Vektorraumes von Funktionen

25.06.2020, 16:58	max2919191	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension des Vektorraumes von Funktionen Meine Frage: Ich möchte untersuchen welche Dimension der Vektorraum $\begin{eqnarray} U = \{ f \in Abb(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \ \| \ f(x) = f(y) \ \text{falls} \ x^2 \neq 1 \ \text{und} \ x^2 \neq 1 \} \end{eqnarray}$ hat. Allgemein würde ich gerne wissen, falls das nicht aus der Erklärung so wieso schon hervorgeht, wie man allgemeine die Dimension eines solchen Vektorraumes bestimmt ohne explizites Wissen über die Funktionen, die dort enthalten sind. Meine Ideen: Ich hab wirklich keine Idee, wie man sowas angeht.
25.06.2020, 17:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension des Vektorraumes von Funktionen In der Definition von U steht zweimal die gleiche Bedingung. Bitte prüf das nochmal
25.06.2020, 17:18	max2919191	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein x sollte ein y sein ...
25.06.2020, 18:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein allgemeines Vorgehen zur Bestimmung der Dimension eines Funktionenraums wird es wohl nicht geben. Hier kann man sich überlegen, dass die Elemente von U fast überall konstant sind, mit Ausnahme von höchstens zwei Punkten. Die reelle Achse zerfällt damit in drei Teile. Also wird man versuchen, derlei Funktionen aus drei Funktionen zusammenzubauen. Fallen dir Funktionen ein, die auf Teilmengen (der reellen Zahlen) konstant sind?
25.06.2020, 18:50	max2919191	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.B. Funktionen der Art $\begin{eqnarray} f(x) = a \end{eqnarray}$ sind konstant für ein $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$
25.06.2020, 19:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon richtig, allerdings dachte ich an charakteristische Funktionen
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25.06.2020, 19:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, daß max2919191 noch die Vorstellung davon fehlt, wie ein typisches Element von $\begin{align} U \end{align}$ aussieht. Geben wir doch einmal eines an: $\begin{align} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \ \ x \mapsto \begin{cases} 25, & x=-1 \\ 6, & x=1 \\ 2020, & x \neq \pm 1 \end{cases} \end{align}$ Man kann nun $\begin{align} u,v,w \in U \end{align}$ finden, so daß jedes $\begin{align} f \in U \end{align}$ (zum Beispiel das obige) als Linearkombination von $\begin{align} u,v,w \end{align}$ dargestellt werden kann. Es gibt also Skalare $\begin{align} \alpha, \beta, \gamma \end{align}$ mit $\begin{align} f = \alpha u + \beta v + \gamma w \end{align}$ Diese Funktionen $\begin{align} u,v,w \end{align}$ sind nun zu finden. Tipp: Einfach denken. URL hat das entscheidende Stichwort genannt. Zum Schluß bliebe dann noch die lineare Unabhängigkeit nachzuweisen.
25.06.2020, 20:23	max2919191	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat sehr geholfen Leopold, danke. Dir natürlich auch URL

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