Zeige gliedweise Differenzierbarkeit von Summe zweier Funktionen

26.06.2020, 22:54	Julezzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige gliedweise Differenzierbarkeit von Summe zweier Funktionen Guten Abend, Meine Aufgabe lautet: Zeigen Sie mit der Definition der Ableitung: Sind $\begin{eqnarray} f,g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar, dann ist auch f+g differenzierbar und es gilt $\begin{eqnarray} (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x) \end{eqnarray}$ Die angesprochene Definition der Ableitung ist: Sei $\begin{eqnarray} g : A \rightarrow R \end{eqnarray}$ eine Funktion auf einem (beliebigen) Intervall A. Ist $\begin{eqnarray} c \in A \end{eqnarray}$ , so heißt $\begin{eqnarray} g'(c) = \lim_{x \to c} \frac{g(x)-g(c)}{x-c} \end{eqnarray}$ ______________________________ Die Summenregel besagt ja direkt, dass die Summe zweier differenzierbarer Funktionen wieder differenzierbar ist und die Summe gliedweise differenziert werden kann. Ich weiß nicht wirklich, was ich da noch ergänzen kann. Ich habe das Beispiel noch in die Definition eingesetzt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} + \lim_{x \to c} \frac{g(x)-g(c)}{x-c} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{(f+g)(x)-(f+g)(c)}{x-c} \end{eqnarray}$ Reicht das schon oder habe ich die Komplexität noch gar nicht erkannt?
26.06.2020, 23:10	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige gliedweise Differenzierbarkeit von Summe zweier Funktionen Du hast ja bisher nur die 2 Differentialquotienten getrennt hingeschrieben, was nach Definition die Summe der Ableitungen ist, d. h. Du hast erst abgeleitet und dann addiert. Zu zeigen ist aber, dass dasselbe rauskommt, wenn man $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ zuerst addiert und dann ableitet. Ich würde eine Hilfsfunktion $\begin{eqnarray} h(x):=f(x)+g(x)=(f+g)(x) \end{eqnarray}$ für sinnvoll halten und dann die Definition auf $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ anwenden.
26.06.2020, 23:36	Julezzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige gliedweise Differenzierbarkeit von Summe zweier Funktionen Daher sollte ich die Definition auf der linken Seite nicht einzeln auf f und g anwenden, sondern auf (f(x)+(g(x))? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{(f(x)+(g(x))-(f(c)-g(c))}{x-c} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{(f+g)(x)-(f+g)(c)}{x-c} \end{eqnarray}$ Habe mir erlaubt, das unnötige Vollzitat zu entfernen. klauss
26.06.2020, 23:54	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige gliedweise Differenzierbarkeit von Summe zweier Funktionen Ja, es soll ja gezeigt werden, dass die Definition auf $\begin{eqnarray} f+g \end{eqnarray}$ angewendet auch zu $\begin{eqnarray} f'+g' \end{eqnarray}$ führt. Deshalb gehe aus von dem neuen Ansatz und fülle die Pünktchen aus mit den passenden Umformungen, so dass die Gleichungskette dann das gewünschte Ergebnis liefert. Aber Achtung auf Vorzeichen: $\begin{eqnarray} (f+g)'(c)=\lim_{x \to c} \frac{(f(x)+g(x))-(f(c)\textcolor{orange}{+}g(c))}{x-c} = ...... = f'(c)+g'(c) \end{eqnarray}$
27.06.2020, 00:55	Julezzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißt es vollständig dann: $\begin{eqnarray} <br /> (f+g)'(c)=\lim_{x \to c} \frac{(f(x)+g(x))-(f(c)+g(c))}{x-c} =\lim_{x \to c} \frac{f(x)+g(x)-f(c)-g(c)}{x-c} =\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)+g(x)-g(c)}{x-c} =\lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} + \lim_{x \to c} \frac{g(x)-g(c)}{x-c}= f'(c)+g'(c)<br /> \end{eqnarray}$ Jetzt macht es Sinn. Passt das so? ________________________ Da habe ich jetzt nur das $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{(f+g)(x)-(f+g)(c)}{x-c} \end{eqnarray}$ gar nicht benutzt... War mein Denkfehler, dass ich durch die Aufgabe dachte (f+g)'(x) wäre $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{(f+g)(x)-(f+g)(c)}{x-c} \end{eqnarray}$ , weil das irgendwie naheliegend war? In Wahrheit ist es ja aber $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{(f(x)+g(x))-(f(c)+g(c))}{x-c} \end{eqnarray}$ . Sorry, bei mir geht's gearde etwas durcheiander. Danke für Deine Geduld!
27.06.2020, 01:14	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meinen Ansprüchen genügt die lange Gleichung. Im übrigen sehe ich $\begin{eqnarray} (f+g)(x) \end{eqnarray}$ als spezielle Schreibweise für $\begin{eqnarray} f(x)+g(x) \end{eqnarray}$ , ähnlich wie $\begin{eqnarray} (f\circ g)(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} f\left[g(x)\right] \end{eqnarray}$ . Da wir letztlich $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g'(x) \end{eqnarray}$ auseinanderziehen wollen (man muß beim Beweisen immer das Ziel im Auge behalten), eignet sich die Schreibweise $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{(f+g)(x)-(f+g)(c)}{x-c} \end{eqnarray}$ nicht, sondern wir verwenden das gleichbedeutende $\begin{eqnarray} \lim_{x \to c} \frac{(f(x)+g(x))-(f(c)+g(c))}{x-c} \end{eqnarray}$
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