Gleichung 3. Grades - Wie lösen?

27.06.2020, 03:17

Rikky

Gleichung 3. Grades - Wie lösen?

Meine Frage:
Hallo Liebes Forum,

Ich habe diese Gleichung:

3x^2 - 2x^3 = 0,5

Aber ich komme einfach nicht auf die Lösung

Meine Ideen:
Ich bin nicht weit gekommen bis jetzt, alles was ich probiert habe ist schon ziemlich früh gescheitert. Deshalb bitte ich euch um Hilfe!

Danke im voraus!

27.06.2020, 03:45

klauss

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RE: Gleichung 3. Grades - Wie lösen?
Ich würde da ohne Umschweife
$\begin{eqnarray*} 3x^{2}- 2x^{3} = 0,5 \end{eqnarray*}$
umschreiben in die günstigere Form
$\begin{eqnarray*} 4x^{3}- 6x^{2}+1 = 0 \end{eqnarray*}$
und dann den Satz über rationale Nullstellen anwenden. Damit findet man schnell eine Lösung.
Polynomdivision o. a. reduziert das restliche Problem auf den Einsatz der "Mitternachtsformel".
Das alles wohlgemerkt OHNE Taschenrechner.

27.06.2020, 07:17

G270620

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RE: Gleichung 3. Grades - Wie lösen?
Polynomdivision geht hier nicht.
Es gibt keine ganzzahligen Nullstellen.

27.06.2020, 07:33

Huggy

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RE: Gleichung 3. Grades - Wie lösen?
Und weshalb sollte das einer Polynomdivision im Wege stehen?

27.06.2020, 08:16

G270620

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RE: Gleichung 3. Grades - Wie lösen?
Welche Polynomdivision kann ein Schüler hier durchführen?
In der Schule wird sie gewöhnlich nur gemacht, wenn ein ganzzahliger Teiler vorliegt.
Welche Division meint du genau? verwirrt

27.06.2020, 08:26

Huggy

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RE: Gleichung 3. Grades - Wie lösen?

Zitat:

Original von G270620
In der Schule wird sie gewöhnlich nur gemacht, wenn ein ganzzahliger Teiler vorliegt.

Das bezweifele ich. Sonst hätte man auch diese Aufgabe nicht gestellt.

Zitat:

Welche Division meint du genau? verwirrt

Ich meine die Division durch $\begin{eqnarray*} x- \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ oder alternativ durch $\begin{eqnarray*} 2x-1 \end{eqnarray*}$ .

27.06.2020, 09:39

G270620

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RE: Gleichung 3. Grades - Wie lösen?
Ich vermute eher, dass ein Näehrungsverfahren gefragt ist.
Newton kommt in der Schule durchaus vor.

Auf deine Division kommen Profis wie du oder vlt. 1 von 100 Schülern, schätze ich. Augenzwinkern

Du überschätzt m.E. die Schulmathematik.

27.06.2020, 10:04

Huggy

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RE: Gleichung 3. Grades - Wie lösen?

Zitat:

Original von G270620
Ich vermute eher, dass ein Näehrungsverfahren gefragt ist.
Newton kommt in der Schule durchaus vor.

Klar kommt Newton in der Schule vor. Wenn aber eine der Lösugen rational ist und man die anderen durch Polynomdision bekommt, dann ist Newton normalerweise nicht gefragt.

Zitat:

Auf deine Division kommen Profis wie du oder vlt. 1 von 100 Schülern, schätze ich. Augenzwinkern

Du überschätzt m.E. die Schulmathematik.

Sorry, aber das ist Quark. Wenn $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ eine bekannte Nullstelle der Polynomgleichung $\begin{eqnarray*} P(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man die Polynomdivision $\begin{eqnarray*} P(x) : (x-a) \end{eqnarray*}$ machen. Da muss man auf nichts kommen.

27.06.2020, 11:39

G270620

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RE: Gleichung 3. Grades - Wie lösen?
Wenn eine ganzzahlige Nullstelle nicht vorkommt, macht ein Schüler gewöhnlich keine Polynomdivision mehr.
Die erste findet er durch Raten einer ganzen Zahl.
Etwas anderes ist mir in diesem Kontext noch nie untergekommen,
Es wird dann sofort auf andere Verfahren verwiesen.
Hier käme auch Cardano noch infrage, was oft erwähnt wird.
Du bist doch lange genug in Forum um das bestätigen zu können.
Du argumentierst an der Realität vorbei und gegen jede Erfahrung.
Mit Brüchen macht man in der Schule gewöhnlich keine Polynomdivision.
Warum willst du das permanent abstreiten? verwirrt

27.06.2020, 12:05

Helferlein

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Auch wenn ein einfacher Bruch denkbar als Lösung einer Aufgabe in der Schule ist, so kann ich aus meiner eigenen Nachhilfe-Erfahrung doch sagen, dass viele Schüler eines Grundkurses nicht einmal das Verfahren der Polynomdivison kennen, geschweige denn beherrschen. Da erscheint es mir auch eher fragwürdig, ob eine Bruchlösung in einer Aufgabe zu erraten ist, zumindest ohne weitere Hilfestellungen durch den Lehrer. Die anschließende Polynomdivision mit einem Bruch dürfte für viele Schüler dann aber das endgültige Fragezeichen auf die Stirn zeichnen, zumal Bruchrechnung heutzutage für die Schüler eh ein nahezu unlösbares Mysterium zu sein scheint.

Wie so oft, haben wir hier aber nur das Posting eines Schülers, der seine Sicht der Aufgabe wiedergibt. (Ich habe die Gleichung, ich brauche eine Lösung). Wie der genaue Aufgabentext lautet wird wieder einmal nicht gesagt.
Daher bin ich hier bei unserem täglichen Gast, dass es vermutlich nicht um die exakten Lösungen geht, auch wenn die sich hier als recht einfach darstellen.

27.06.2020, 12:23

Huggy

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Zitat:

Original von Helferlein
Da erscheint es mir auch eher fragwürdig, ob eine Bruchlösung in einer Aufgabe zu erraten ist, zumindest ohne weitere Hilfestellungen durch den Lehrer.

Meine Nachhilfeerfahrung ist da anders. Zumindest graphikfähige Taschenrechner sind heute an den Schulen Standard. Die Schüler sollen/dürfen ganzzahlige und einfache rationale Nullstellen anhand eines Plots erraten. Mit der Polynomdivision sollen sie dann prüfen, ob das tatsächliche eine Nullstelle ist. Falls ja, ist dann das reduzierte Polynom zu betrachten.

Zitat:

zumal Bruchrechnung heutzutage für die Schüler eh ein nahezu unlösbares Mysterium zu sein scheint.

Das ist leider so. Deshalb kommt Bruchrechnung trotzdem in Aufgaben vor. Sonst müsste man mit der Mathematik nach der Grundschule aufhören.

27.06.2020, 12:37

G270620

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Wenn man einen TR nehmen darf, wo ist dann noch der Reiz.
Der TR kann dann gleich alle Nullstellen ausspuken.
Fakt ist: Von sich aus kommt ein Schüler nicht auf 1/2.
Das war meine wohl begründete Behauptung.
Meine Aussage ist alles andere als Quark. unglücklich

27.06.2020, 12:44

Rikky

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Hallo, ich bin's nochmal!

Danke für die schnellen Antworten, damit hätte ich nicht gerechnet!

Die erste Antwort konnte mein Problem perfekt lösen.

Um auf die Diskussion einzugehen möchte ich sagen, dass ich gerade mein Abitur bestanden habe und mich gerade auf mein Studium vorbereite. In der Schulzeit habe ich von beiden Methoden eher wenig gehört. Da ich aber ein Studium in Richtung Mathematik bzw. Informatik anstrebe Versuche ich mich jetzt schon auf das Studium vorzubereiten mit ein paar anspruchsvolleren Aufgaben.

Danke nochmal vielmals an alle!

27.06.2020, 12:57

Huggy

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Zitat:

Original von G270620
Wenn man einen TR nehmen darf, wo ist dann noch der Reiz.

Willst du bestreiten, dass man heute an der Schule für viele Zwecke einen TR benutzen darf und soll?

Zitat:

Der TR kann dann gleich alle Nullstellen ausspuken.

Das kann er nur, falls er ein CAS enthält. Das ist für die an Schulen zulässigen TR nicht Standard. Und da, wo die Schüler TR mit CAS-Funktion benutzen dürfen, dürfen sie diese Funktionen nicht für alle Aufgaben benutzen. Wenn sie lernen, quadratische und einfache höhere Polynomgleichungen zu lösen, dürfen sie die CAS-Funktionen nicht benutzen.

Zitat:

Fakt ist: Von sich aus kommt ein Schüler nicht auf 1/2.

Da zitiere ich mich mal selbst:

Zitat:

27.06.2020, 13:04

G270620

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Zitat:

Da muss man auf nichts kommen.

Das hast du weiter oben behauptet. Auf dieses a kommt ein Schüler nicht ohne TR.
Wir reden aneinander vorbei.

27.06.2020, 13:18

klauss

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Meine Erfahrungen sind mit Huggys Ausführungen konform. Zusammengefaßt nach regionalen Maßstäben:

1.) Polynomdivision ist (leider) meist das einzige Mittel für Schüler, den Polynomgrad zu reduzieren. Es mögen in den meisten Aufgaben ganzzahlige Nullstellen vorkommen, die entweder durch "Raten" gefunden werden sollen (der Satz über rationale Nullstellen ist mir bei Schülern noch nie förmlich begegnet, deshalb habe ich mich mit meinem Rat eigentlich selbst schon weit hinausgewagt) oder mittels Wertetabelle im TR (in unserem Fall passende Schrittweite vorausgesetzt). Zusätzlich ginge hier poly-solv, das liefert gleich alle 3 Lösungen.
Das hat aber nichts damit zu tun, dass man grundsätzlich Polynomdivision zur Verfügung hat und sich bei gebrochenen Nullstellen halt dann mehr Mühe geben muß.
Schüler tasten sich gewöhnlich schrittweise bis zum Grad 2 vor. Mein gelegentlicher Hinweis bei 2 bekannten Nullstellen, dass man Polynomdivision gleich durch das Produkt der Linearfaktoren machen kann, wird zur Kenntnis genommen, aber nicht als Erleichterung gewertet. D. h. man macht lieber 2 Polynomdivisionen als einmal durch etwas quadratisches zu teilen.

2.) Newton-Verfahren ist zwar auch Schulstoff, aber hauptsächlich am Gymnasium und dort auch nur stiefmütterlich. Das nutzt einem FOS-ler leider nichts. Für diesen tritt wieder Punkt 1.) in Kraft, denn PD hat er auch im Nichttechnikzweig. Deren Beherrschung ist ein anderer Aspekt.

3.) Die Polynomdivision in Zweifel zu ziehen und stattdessen Cardano vorzuschlagen, finde ich allerdings gelinde gesagt abenteuerlich.

Zitat:

Original von Rikky
Die erste Antwort konnte mein Problem perfekt lösen.

Danke .. die Blumen darf ich mir dann wohl auf den Tisch stellen ... smile

27.06.2020, 13:27

Huggy

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Jetzt benutzt du meine Bemerkung

Zitat:

Da muss man auf nichts kommen.

mit voller Absicht anders als sie oben von mir benutzt wurde, indem du den ersten Teil meines Satzes weglässt. Der lautete vollständig:

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ eine bekannte Nullstelle der Polynomgleichung $\begin{eqnarray*} P(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man die Polynomdivision $\begin{eqnarray*} P(x) : (x-a) \end{eqnarray*}$ machen. Da muss man auf nichts kommen.

Es ging also nicht um die Frage, wie man auf die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x= \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ kommt, sondern darum, was man macht, wenn man sie kennt. Wie man ohne TR diese Nullstelle vermuten kann, hat klauss erläutert. Und wie man sie mit TR erraten kann, habe ich erläutert. Wenn man mit verfälschenden Zitaten arbeitet, diskutiere ich nicht weiter.

27.06.2020, 13:31

G270620

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Newton geht in solchen Fällen immer und kommt sehr oft vor.
1/2 ist eine vergleichsweise schöne Nullstelle. Was ist, wenn die Nullstelle
13/19, Wurzel aus 17 o.ä. ist?
Vermutlich sieht Huggy auch sowas auf den 1.Blick und ohne Hilfsmittel. unglücklich

27.06.2020, 13:41

Huggy

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Zitat:

Original von G270620
Was ist, wenn die Nullstelle 13/19, Wurzel aus 17 o.ä. ist?
Vermutlich sieht Huggy auch sowas auf den 1.Blick und ohne Hilfsmittel. unglücklich

Habe ich das irgendwo gesagt? Nein! Du argumentierst unverändert und unverfroren mit falschen Behauptungen.

27.06.2020, 14:02

G270620

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Der Tenor deiner Worte ist ziemlich eindeutig.

x= a ist eben keine bekannte Nullstelle. Dann kommst du plötzlich mit TR daher um das
zu begründen. Die Nullstelle ist das entscheidende Problem. Da beißt die Maus keinen Faden
ab. Nur darum geht es.
Dein Quarkvorwurf ist mindestens genauso unverfroren und beleidigend. unglücklich

27.06.2020, 14:05

realist

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Ich bin bei Aussagen der Art "Man macht das so und so" immer vorsichtig.
Nur weil man das selbst so kennen gelernt hat, muss das doch nicht im Allgemeinen so gehandhabt werden.
Jeder spricht doch nur von seinen eigenen Erfahrungen im Bereich der Lehrtätigkeit oder von mir aus auch in der virtuellen Internetwelt.
Die wenigsten Menschen haben wohl einen wirklich fundierten Überblick der Lehrpläne in allen Bundesländern.
Und selbst das deckt dann auch nicht die Freiheiten eines Lehrers für mögliche Exkurse/eigene Vorlieben ab.

Ich z.B. kenne es von meinem Schulunterricht auch so, dass man solche Gleichungen per Polynomdivision oder Horner-Schema löst.
Heutzutage sehe ich es bei Schülern eher, dass sie solche Gleichungen mit einem GTR/CAS lösen sollen.
Newton und Co kennen meine Schüler nicht, außer vielleicht mal aus Facharbeiten.
Kann ich daraus folgern, dass das immer so gemacht wird ? Natürlich nicht !

Es sollte entweder in einer entsprechenden Aufgabenstellung aus dem Mathebuch aber auch dabei stehen, mit welchem der zahlreichen Lösungsverfahren man arbeiten soll.
Oder aber der Lehrer selbst gibt an welche Methode man nutzen soll.

27.06.2020, 22:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von G270620
1/2 ist eine vergleichsweise schöne Nullstelle. Was ist, wenn die Nullstelle 13/19, Wurzel aus 17 o.ä. ist?

"Wurzel aus 17" lasse ich mal außen vor, aber was die rationalen, zu erratenden Lösungen betrifft, gibt es schon etwas passendes aus der Rubrik "systematisches Probieren":

Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten UND Leitkoeffizient 1 haben die Eigenschaft, dass alle rationalen Lösungen auch ganzzahlig sind, und diese zudem Teiler des Absolutglieds sind. (*)

Nun ist zwar $\begin{eqnarray*} 3x^2-2x^3 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nicht von diesem Typ, nach Multiplikation mit 4 sowie Substitution $\begin{eqnarray*} u=2x \end{eqnarray*}$ aber schon:

$\begin{eqnarray*} 12x^2-8x^3 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3(2x)^2-(2x)^3 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3u^2-u^3=2 \end{eqnarray*}$ bzw. dann $\begin{eqnarray*} u^2-3u^2+2=0 \end{eqnarray*}$ .

Ähnliches geht mit JEDER Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten: Durch Multiplikation mit einer passenden ganzen Zahl lässt sie sich zunächst in eine Polynomgleichung mit ganzen Koeffizienten umwandeln, und diese dann durch eine geeignete lineare Substitution auch in eine mit Leitkoeffizient 1.

Das ist jetzt keine Garantie, dass (*) gut anwendbar ist, denn wenn das Absolutglied viele Teiler besitzt, kann das "Probieren" unangemessen ausufern. Und selbstredend funktioniert das ganze nur, wenn es überhaupt rationale Lösungen der Gleichung gibt.

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