Ungleichung mit Matrixnorm unter Berücksichtigung der Definitheit

28.06.2020, 14:39	TARS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Matrixnorm unter Berücksichtigung der Definitheit Meine Frage: Hallo zusammen, ich muss zeigen, dass für eine symmetrische, indefinite Matrix $\begin{eqnarray} \mathbf{G} \in \mathbb{R}^{3\times 3} \end{eqnarray}$ und eine symmetrische, positiv definite Matrix $\begin{eqnarray} \mathbf{U} \in \mathbb{R}^{3\times 3} \end{eqnarray}$ folgende Ungleichung erfüllt ist: $\begin{eqnarray} \mathbf{G}^2 : \mathbf{I} \leq \mathbf{G}\mathbf{U}\mathbf{G} : \mathbf{U}^{-1} \end{eqnarray}$ wobei mit $\begin{eqnarray} \mathbf{I} \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix bezeichnet ist und ":" das skalare Produkt zwischen zwei Matrizen beschreibt ( $\begin{eqnarray} \mathbf{A} : \mathbf{B} = \text{Trace}(\mathbf{A}^T\mathbf{B}) \end{eqnarray}$ ) Meine Ideen: Bisher habe ich es hauptsächlich mit eine Vielzahl an Zufallsmatrizen probiert, die die oben genannten Eigenschaften erfüllen, wobei bisher die Ungleichung immer erfüllt war. Besitzen beiden Matrizen die gleichen Eigenvektoren, sind beide Seiten der Ungleichung offensichtlich identisch. Die linke Seite der Ungleichung ist ebenfalls immer offensichtich größer/gleich Null. Über die Eigenschaft, dass eine positiv definite Matrix von links und rechts mit einer reelen Matrix multipliziert zumindest positiv-semidefinit ist, ist auch die rechte Seite der Gleichung immer größer/gleich Null. Meine Idee war noch, die Einheitsmatrix durch $\begin{eqnarray} \mathbf{U}\mathbf{U}^{-1} \end{eqnarray}$ zu ersetzen. Allerdings bin ich damit auch nicht auf eine Lösung gekommen.
28.06.2020, 23:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch's mal mit der Schwarzschen Ungleichung, welche für reelle Matrizen lautet $\begin{eqnarray} \|Sp(AB^T)\|\leq \sqrt{Sp(AA^T)}\cdot \sqrt{Sp(BB^T)} \end{eqnarray}$ ----------------------------------------------------------------- Quelle: WIKIPEDIA, Suchbegriff: "Spur (Mathematik)"
29.06.2020, 09:35	TARS	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos, danke für den Tipp! Habe es damit versucht, kam aber auf keine wirkliche Lösung. Man kann jedoch einfach ausnutzen, dass sich $\begin{eqnarray} U = Q D Q^T \end{eqnarray}$ diagonalisieren lässt. Definiert man dann $\begin{eqnarray} \bar{G} = Q^T G Q \end{eqnarray}$ (welche die gleichen Eigenwerte wie $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ hat), ergibt sich nach Ausmultiplizieren für quadratische Matrizen der Größe $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} Sp(\bar{G}D\bar{G}D^{-1}) - Sp(\bar{G}^2) = \sum_{i=1,j=1,i\neq j}^n \frac{1}{2} \bar{G}_{ij}^2 \left(\frac{D_{ii}}{D_{jj}} + \frac{D_{jj}}{D_{ii}} - 2 \right) \end{eqnarray}$ damit muss nur noch gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \frac{D_{ii}}{D_{jj}} + \frac{D_{jj}}{D_{ii}} - 2 \geq 0 \end{eqnarray}$ gilt. Unter Ausnutzung der binomischen Formel und das die Eigenwerte bzw. Diagonaleinträge von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ größer als Null sind, lässt sich die letzte Ungleichung leicht beweisen.

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