Unleserlich! Nachweis Umkreismittelpunkt |
| 28.06.2020, 20:16 | thomas13705 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Nachweis Umkreismittelpunkt Gegeben seien drei Punkte a,b,c ? R², die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Zeigen Sie: Es existiert genau ein p0 ? R² mit ||a?p0||2= ||b?p0||2 = ||c?p0||2 und es gilt Ma,b ? Mb,c ? Ma,c ={p0}. Die Mittelsenkrechten schneiden sich also im Umkreismittelpunkt p0 des Dreiecks 
a, b,c). Der Umkreisradius ist dann R=||a ? p0||2.Ansatz/Problem: Ich habe wirklich überhaupt keine Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Danke schon mal im Voraus Thomas Meine Ideen: Ich habe leider nach mehreren Stunden überlegen keinen einzigen sinnvollen Ansatz gefunden. Sonst hätte ich mich hier nicht gemeldet 128517 Edit (mY+): Dein Beitrag ist schlecht lesbar. Bitte VOR dem Absenden mittels der Vorschau prüfen und ggf Fehler korrigieren! |
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| 28.06.2020, 21:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist nichts anderes als die klassische euklidische Konstruktion des Kreises durch drei nichtkollineare Punkte a, b, c der Ebene. Der Mittelpunkt muss von je zwei Punkten den gleichen Abstand r haben, liegt also auf deren Mittelsenkrechten. Diese schneiden sich natürlich im Mittelpunkt des Kreises. |
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| 29.06.2020, 07:28 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
In dieser Aufgabe geht es wohl darum, den von Elvis zitierten Satz aus der Elementargeometrie mit Methoden der Analytischen Geometrie nachzuweisen. Man könnte den dort bekannten Beweis nachspielen. Für Elemente des schreibe ich Kleinbuchstaben und verstehe sie sowohl als Punkte wie auch als Vektoren. Punkte werden mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Weiter verwende ich das Standardskalarprodukt und schreibe es als Multiplikation. Man beginnt mit den drei Mittelsenkrechten. Zunächst diejenige der Strecke von nach . Der Mittelpunkt der Strecke ist , als Normalenvektor der Mittelsenkrechten kann man nehmen. Damit ist eine Gleichung dieser Mittelsenkrechten. Nach Multiplikation mit 2 bekommt man dafür . Durch zyklisches Fortsetzen findet man daher die drei folgenden Gleichungen für die Mittelsenkrechten: Die Gleichungen und bestimmen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Unbekannten, nämlich den Koordinaten des Vektors . Da nicht auf einer Geraden liegen, können die Normalenvektoren und nicht linear abhängig sein. Damit hat das Gleichungssystem aus und genau eine Lösung . Diese erfüllt von alleine auch (einfach die Gleichungen und addieren und nachrechnen). Geometrisch interpretiert: Die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden sich in genau einem Punkt . Jetzt mußt du noch nachweisen, daß gilt. Das ist aber nicht weiter schwer, denn es gilt die folgende Äquivalenz: Quadriere die Gleichung rechts, verwende für alle und bringe die Gleichung auf die Gestalt links. |
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