Parametrisierung einer Ellipse

28.06.2020, 20:41

Knud

Parametrisierung einer Ellipse

Meine Frage:
hallo liebes matheboard,

Ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und weis nicht so recht weiter:

Wir betrachten die achsenparallele Ellipse
$\begin{eqnarray*} \frac{x_{1}^{2} }{9} + \frac{x_{2}^{2}}{4} = 1 \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie eine Parametrisierung $\begin{eqnarray*} c: I \Rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
also die Parametrisierung sollte ja eig. in Form eines Vektors sein, aber ich verstehe nicht so richtig wie genau ich da gerade drauf kommen soll

vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich

28.06.2020, 21:48

HNF

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Hallo,

Man könnte Polarkoordinanten verwenden:

$\begin{eqnarray*} x=rcos(\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=rsin(\phi) \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} r >0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \in \left[0; 2pi\right) \end{eqnarray*}$ . Dabei ist r der Radius. Musst Dir nun überlegen wie bei Dir die Radien sein müssen.

28.06.2020, 22:19

Ehos

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Zur Parametrisierung der Ellipse verwendet man elliptische Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\cdot\cos(\phi) \\ 2\cdot\sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kurvenparameter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist der Drehwinkel - ähnlich wie bei der Darstellung eines Kreises in ebenen Polarkoordinaten. Zur Probe setzt man die obigen Komponenten $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ in die Ellipsengleichung ein und sieht, dass diese erfüllt ist:

$\begin{eqnarray*} \tfrac{x_1^2}{9}+\tfrac{x_2^2}{4}=1 \end{eqnarray*}$

28.06.2020, 22:31

Leopold

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Zitat:

Original von Ehos
Der Kurvenparameter $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist der Drehwinkel - ähnlich wie bei der Darstellung eines Kreises in ebenen Polarkoordinaten.

Was meinst du mit "Drehwinkel"? Der Winkel zwischen der positiven $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ -Achse und dem Strahl vom Ursprung durch den Kurvenpunkt ist es jedenfalls nicht.

28.06.2020, 23:10

Ehos

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@Leopold
Du hast recht - es ist nicht der klassische Drehwinkel.

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