DGL 1. Ordnung

30.06.2020, 07:34	sadiee3006	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 1. Ordnung Meine Frage: Ich soll folgende DGL nach der 1. Ordnung durch Substitution lösen y'(1+x^2) = xy Meine Ideen: Mein Ansatz ist, dass ich erstmal y' allein stehen lasse und umforme. y'/y = x/(1+x^2) An dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß, wie ich mit y'/y arbeiten soll. Ich bedanke mich im Voraus!
30.06.2020, 08:38	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 1. Ordnung Problem Es ist nach der Kettenregel $\begin{eqnarray} \frac {d \ln y}{dx}=\frac {y'}y \end{eqnarray}$ Also bietet sich die Substitution $\begin{eqnarray} z=\ln y \end{eqnarray}$ an.
30.06.2020, 12:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@sadiee3006 Man kann auf beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray} \tfrac{y'}{y}= \tfrac{x}{1+x^2} \end{eqnarray}$ direkt die Stammfunktion bilden. Mit Huggys Tipp und mit der Integrationskonstanten -ln(C) ergibt sich: $\begin{eqnarray} \underbrace{\ln(y)-\ln(C)}_{\ln \left ( \tfrac{y}{C}\right )}= \int \tfrac{x}{1+x^2}\,dx \end{eqnarray}$ Umstellen nach y liefert: $\begin{eqnarray} y=C\cdot \exp \left ( \int \tfrac{x}{1+x^2}\,dx\right ) \end{eqnarray}$ Bestimme das unbestimmte Integral auf der rechten Seite - falls nötig mit Integraltafel.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »