Geschlossene Formel für spezielles Produkt gesucht

30.06.2020, 14:16	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Geschlossene Formel für spezielles Produkt gesucht Ich bin auf folgendes Produkt gestoßen $\begin{eqnarray} (\sigma_1^2 + \sigma_2^2)(\sigma_1^2 \sigma_2^2 + \sigma_1^2 \sigma_3^2 + \sigma_2^2 \sigma_3^2)(\sigma_1^2 \sigma_2^2 \sigma_3^2 + \sigma_1^2 \sigma_2^2 \sigma_4^2 + \sigma_1^2 \sigma_3^2 \sigma_4^2 + \sigma_2^2 \sigma_3^2 \sigma_4^2 )(\dots) \end{eqnarray}$ , d.h. Produkte von Termen welche wiederum die Summe aller Produkte von Ziehungen ohne Zurücklegung von n-1 von n Elementen einer Grundmenge darstellen. Als Formel sollte es: $\begin{eqnarray} \prod_{n=1}^M \sum_{k=1}^{n} \prod_{i=1, i \neq k}^n \sigma_i^2 \end{eqnarray}$ sein. Ich suche nun ein geschlossene Formel in der Art $\begin{eqnarray} \sigma_1^{2 \cdot M_1} (\dots) + \sigma_2^{2\cdot M_2} (\dots) + \sigma_3^{2 \cdot M_3} (\dots) + \dots + \sigma_1^{M_{s}} \sigma_2^{M_{s}} (\dots) + \dots \end{eqnarray}$ d.h. also quasi die ausmultiplizierte Form. Meine ersten paar Suchen mit Google haben leider nichts ergeben (es schreibt nach dem binomischen Lehrsatz aber die Form hier existiert m.W.n. nicht).
01.07.2020, 17:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So ganz ist mir nicht klar, nach welchem Prinzip du die Monome anordnen willst... Ich schlage zunächst eine andere Darstellung vor, auch wenn in der Brüche auftauchen. Den ganzen unnützen Quadratfimmel schmeiße ich bei der Gelegenheit auch erstmal weg (macht nur Schreibarbeit) durch Substitution $\begin{eqnarray} q_i:=\sigma_i^2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \prod_{n=1}^M \sum_{k=1}^n \prod_{i=1, i \neq k}^n q_i = \prod_{n=1}^M \left( \prod_{i=1}^n q_i \sum_{k=1}^n \frac{1}{q_k} \right) = \left( \prod_{i=1}^M \prod_{n=i}^M q_i \right) \cdot \left(\prod_{n=1}^M \sum_{k=1}^n \frac{1}{q_k} \right) = \prod_{i=1}^M q_i^{M-i+1} \cdot \left(\prod_{n=1}^M \sum_{k=1}^n \frac{1}{q_k} \right) \end{eqnarray}$ Ob diese Darstellung dich weiter bringt - keine Ahnung. Ich empfinde sie etwas übersichtlicher, was die letztliche Struktur der Summanden betrifft.

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