Zerlegung/Faktorisierung

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30.06.2020, 15:33	Leonie2	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung/Faktorisierung Meine Frage: Hallöchen... Ich bin etwas ratlos. Und zwar erhält man für $\begin{eqnarray} n>2 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\zeta_n^k) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} X=\frac{x}{-y} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cdot (-y^n) \end{eqnarray}$ die Zerlegung $\begin{eqnarray} x^n+y^n=\prod_{k=0}^{n-1}(x+\zeta_n^ky) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Das klappt aber nur, wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade ist... sonst bleibt ein störendes Minus: $\begin{eqnarray} -x^n+y^n=\prod_{k=0}^{n-1}(x+\zeta_n^ky) \end{eqnarray}$ Kann man das gerade biegen? Ich habe es für $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ händisch zerlegt und da klappt es ohne störendes Minus. Freue mich liebe Leute
30.06.2020, 17:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung/Faktorisierung Du benutzt bei der bisherigen Aufteilung, dass $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ immer eine Wurzel von -1 für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist. Möchtest du eine Wurzel von -1 für gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , musst du entsprechend ins komplexe gehen.
30.06.2020, 17:42	Leonie2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung/Faktorisierung Danke, meinst du die -1 bei dem Polynom $\begin{eqnarray} X^n-1 \end{eqnarray}$ ?
30.06.2020, 17:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung/Faktorisierung Ich meinte die -1 bei der Substitution $\begin{eqnarray} x/(-y) \end{eqnarray}$ . Du nutzt aus, dass $\begin{eqnarray} (-y)^{2n+1} = -y^{2n+1} \end{eqnarray}$ . Wenn du allgemeiner mit $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ eine Zahl mit $\begin{eqnarray} z_n^n = -1 \end{eqnarray}$ bezeichnest, dann gilt $\begin{eqnarray} x^n + y^n = x^n - (z_n y)^n = (z_n y)^n \left[ \left(\frac { x} {z_ny}\right)^n - 1\right] = ... \end{eqnarray}$ . Für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ konntest du $\begin{eqnarray} z_n = -1 \end{eqnarray}$ nehmen, unabhängig von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und zuende rechnen. Nun musst du $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ "vorsichtiger" wählen.
30.06.2020, 18:36	Leonie2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung/Faktorisierung Ah, jetzt weiß ich, was du meinst. Bei $\begin{eqnarray} n=2,6,10,... \end{eqnarray}$ könnte ich $\begin{eqnarray} z_n=i \end{eqnarray}$ wählen, oder? Und bei $\begin{eqnarray} n=4,8,12,... \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} z_n=-i \end{eqnarray}$ , oder?
30.06.2020, 18:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung/Faktorisierung Da $\begin{eqnarray} i^{2n} = (-i)^{2n} \end{eqnarray}$ wird das nicht funktionieren. Aber für $\begin{eqnarray} n = 2,6, 10, ... \end{eqnarray}$ hast du schon einmal was gutes gefunden.
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30.06.2020, 18:54	Leonie2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung/Faktorisierung Danke. Ah ja... Für $\begin{eqnarray} n=4,12,20,... \end{eqnarray}$ dürfte $\begin{eqnarray} \zeta_8=e^{\left(\frac{2\pi i }{8}\right)} \end{eqnarray}$ gehen... Bleibt noch $\begin{eqnarray} n=8,16,24,... \end{eqnarray}$ Hmm......... Da müsste dann $\begin{eqnarray} \zeta_{8}^4=e^{\left(\frac {8\pi i }{8}\right)} \end{eqnarray}$ passen, oder?
30.06.2020, 19:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung/Faktorisierung Genau.
30.06.2020, 19:07	Leonie2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerlegung/Faktorisierung Super, danke Ich hatte eine Handvoll Bücher durchgesehen... aber nirgends gefunden... wo findet man solche Herleitungen?
30.06.2020, 19:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie, Körpertheorie, Abschnitt Kummertheorie, ("kümmerliche" Einführung bei Wikipedia).

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