Tangente an Parabel

01.07.2020, 08:12

Thomas007

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Tangente an Parabel

Hallo miteinander

Ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 -2x + 2 \end{eqnarray*}$ gegeben.
Nun soll eine Tangente an die Parabel gelegt werden, welche durch den Punkt P(1, -3) verläuft.

Wie ist hier vorzugehen, um die Steigungen der beiden Tangenten rauszukriegen?

01.07.2020, 08:57

adiutor62

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RE: Tangente an Parabel
https://www.abiturma.de/mathe-lernen/ana...durch-fernpunkt

01.07.2020, 18:47

riwe

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RE: Tangente an Parabel
Alternative:

$\begin{eqnarray*} P(1/-3)\to k\cdot(x-1)-3=y=x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$

und setze die Diskriminate der quadratische Gleichung in x $\begin{eqnarray*} \Delta=0 \end{eqnarray*}$

damit bekommst du die 2 (möglichen) Steigungen k der Tangenten

02.07.2020, 17:37

Thomas007

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RE: Tangente an Parabel
Vielen Dank für eure Antworten; und vielen Dank für den Zusatz, riwe.

Wir hatten noch keine Ableitungen, daher werden wir es über diesen Weg machen müssen.
Wo meinst du soll ich die Diskriminante einsetzen? Und warum?

Die Diskriminante von f(x) ist -4.

02.07.2020, 17:55

Steffen Bühler

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RE: Tangente an Parabel
Ja, es ist schade, dass manche Helfer ohne großes Nachfragen einfach einen Link hinschmeißen. Ich entschuldige mich im Namen des Matheboards dafür.

Was die Diskriminante betrifft: es geht doch um die quadratische Gleichung
$\begin{eqnarray*} k\cdot(x-1)-3=x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to kx-k-3=x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to x^2-kx-2x+2+k+3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to x^2 + (-k-2)x + (k+5)=0 \end{eqnarray*}$

Parabel- und Tangentengleichung werden hier gleichgesetzt. Diese Gleichung darf nur eine Lösung haben, denn eine Tangente berührt die Parabel nur in einem Punkt. Daher muss die Diskriminante Null sein.

Siehst Du p und q? Nun setze stur ein, und rechne weiter.

Viele Grüße
Steffen

02.07.2020, 18:40

Thomas007

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RE: Tangente an Parabel
Hallo Steffen

Kein Grund sich für andere zu entschuldigen! Warum auch - der Inhalt des Links ist sehr interessant.
Nur eben halt nicht ganz das, wonach ich suchte.

p und q habe ich gesehen und gleich in die Lösungsformel eingesetzt.
Für x_1 kriege ich: 0.5 * (|k| + k + 2)
Für x_2: $\begin{eqnarray*} - \frac{ \sqrt{k^2}}{2} + \frac{k}{2} + 1 \end{eqnarray*}$

Was bringt mir das nun aber?

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02.07.2020, 19:33

Leopold

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RE: Tangente an Parabel

Zitat:

Original von Thomas007
Was bringt mir das nun aber?

Nicht viel. Entweder hast du Steffens Strategie nicht verstanden oder nicht richtig umgesetzt.

Die Gleichung

$\begin{align*} x^2 - 2x + 2 = k(x-1) - 3 \end{align*}$

hat in Abhängigkeit von $\begin{align*} k \end{align*}$ keine Lösung (die Gerade ist Passante) oder genau eine Lösung (die Gerade ist Tangente) oder genau zwei Lösungen (die Gerade ist Sekante). Du mußt nun $\begin{align*} k \end{align*}$ so bestimmen, daß der zweite Fall eintritt. Steffen Bühler hat für dich schon umgeformt zu

$\begin{align*} x^2 - (k+2)x + (k+5) = 0 \end{align*}$

Diese Gleichung hat dann und nur dann genau eine Lösung, wenn ihre Diskriminante $\begin{align*} D = b^2 - 4ac \end{align*}$ in der $\begin{align*} abc \end{align*}$ -Formel null ist:

$\begin{align*} D = (k+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k+5) = k^2 - 16 \end{align*}$

Und jetzt mußt du in der quadratischen Gleichung oben mit denjenigen $\begin{align*} k \end{align*}$ weitermachen, für die $\begin{align*} D=0 \end{align*}$ ist.

02.07.2020, 19:43

Steffen Bühler

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RE: Tangente an Parabel
...beziehungsweise für die pq-Formel eben den Ausdruck $\begin{eqnarray*} D=\frac {p^2}4 -q=\dots \end{eqnarray*}$ nullsetzen.

02.07.2020, 23:34

Thomas007

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RE: Tangente an Parabel
Ahhh, alles klar.
k ist dann = +/- 4 und die Berührpunkte dann (3, 5) und (-1, 5).

Vielen Dank für eure Hilfe! smile

smile

03.07.2020, 12:23

riwe

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RE: Tangente an Parabel
Freude

Freude

07.07.2020, 09:36

Ulrich Ruhnau

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RE: Tangente an Parabel
Das mit der Determinante, die verschwinden muß, ist doch nur ein fauler Trick, der dann nicht mehr funktioniert, wenn wir als Kurve keine Parabel mehr haben. Warum nicht über die Ableitung gehen?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x-2 \end{eqnarray*}$

Um den Berührpunkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ für die Tangente zu finden, die durch den Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(1,-3) \end{eqnarray*}$ geht, benutzt man am besten die Punkt-Steigungs-Form:

$\begin{eqnarray*} \frac{y-y_0}{x-x_0}=f'(x) \end{eqnarray*}$ Das bedeutet durch einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{y+3}{x-1}=2x-2 \end{eqnarray*}$ und ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} y+3=(2x-2)(x-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \color{green} y=2x^2-4x-1\quad \end{eqnarray*}$ Von dieser neuen quadratischen Gleichung muß die alte nur abgezogen werden,

$\begin{eqnarray*} \color{red} y=x^2-2x+2\quad \end{eqnarray*}$ damit wir zu einer Bestimmungsgleichung für x kommen, um den Berührpunkt zu finden.

Dort also, wo beide Parabeln sich schneiden, sind die beiden möglichen Berührpunkte.

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-2x-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x^2-2x+1-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=(x-1)^2-2^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=(x-1-2)(x-1+2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=(x-3)(x+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=3,-1 \end{eqnarray*}$

Die gesuchten Geraden bekommt man also mit $\begin{eqnarray*} \frac{y-y_0}{x-x_0}=f'(x_{1,2}) \end{eqnarray*}$

Das bedeutet für die erste Gerade:
$\begin{eqnarray*} \frac{y+3}{x-1}=2\cdot 3-2=4 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \color{blue}y=4x-7 \end{eqnarray*}$ und für die zweite Gerade:

$\begin{eqnarray*} \frac{y+3}{x-1}=2\cdot (-1)-2=4 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \color{purple}y=-4x+1 \end{eqnarray*}$

07.07.2020, 09:43

Steffen Bühler

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RE: Tangente an Parabel

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Warum nicht über die Ableitung gehen?

Deswegen:

Zitat:

Original von Thomas007
Wir hatten noch keine Ableitungen

07.07.2020, 09:43

Huggy

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RE: Tangente an Parabel

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Warum nicht über die Ableitung gehen?

Da zitiere ich mal den Fragesteller:

Zitat:

Original von Thomas007
Wir hatten noch keine Ableitungen, daher werden wir es über diesen Weg machen müssen.

07.07.2020, 09:53

Ulrich Ruhnau

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RE: Tangente an Parabel
Na gut! Ich hatte es übersehen, aber so habe ich auch ein schöne Lösung gezeigt. smile

smile

Mein Kompliment an Steffen Bühler und an Huggy! Eine fast olympiareife Leistung im Synchronzitieren! Big Laugh

Big Laugh

07.07.2020, 10:02

Huggy

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RE: Tangente an Parabel
Die Lösungsmethode mit der Ableitung hatte schon adiutor62 mit seinem Link angegeben.

07.07.2020, 12:40

riwe

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RE: Tangente an Parabel

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Das mit der Determinante, die verschwinden muß, ist doch nur ein fauler Trick, der dann nicht mehr funktioniert, wenn wir als Kurve keine Parabel mehr haben. Warum nicht über die Ableitung gehen?
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da ist es schon eher ein fauler Trick die DISKRIMINANTE in Determinante umzutaufen -
und so notwendig wie ein ..... unglücklich

unglücklich

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