Symmetrie der Householdertransformation

02.07.2020, 21:36	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie der Householdertransformation Hi zusammen, ich möchte beweisen, dass die Householder Transformation $\begin{eqnarray} H = I - 2\frac{vv^T}{v^Tv} \end{eqnarray}$ symmetrisch ist, hier sind meine Ideen: Also zunächst bedeutet Symmetrisch ja, dass wenn ich etwas transponiere ich wieder das gleich Ergebnis erhalte, vielleicht etwas salopp ausgedrückt. Jetzt sehe ich mit die Komponenten von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ der Reihe nach an: 1.) $\begin{eqnarray} I = I^T \end{eqnarray}$ , transponiere ich die Einheitsmatrix erhalte ich wieder eine Einheitsmatrix 2.) Der Bruch besteht aus einem Kreuzprodukt in Zähler und einem Skalarprodukt im Nenner, bedeutet also: 2.1.) Für das Kreuzprodukt $\begin{eqnarray} x \otimes y = x \cdot y^T = \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 & ... & y_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ich würde jetzt behauten transponiere ich dies, erhalte ich: $\begin{eqnarray} (x \otimes y)^T = (x \cdot y^T)^T = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 & ... & x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , was wieder das gleich ist wie oben nur das eben $\begin{eqnarray} x_1 \cdot y_1 \end{eqnarray}$ jetzt $\begin{eqnarray} y_1 \cdot x_1 \end{eqnarray}$ ist (wenn man sich beispielsweise den ersten Wert in der ersten Zeile/Spalte ansieht) 2.2.) Für das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} x y = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 & ... & y_n \end{pmatrix} = x_1 y_1 + ... + x_n y_n. \end{eqnarray}$ Transponiere ich dies: $\begin{eqnarray} (x y)^T = y^T x^T = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 & ... & x_n \end{pmatrix} = y_1 x_1 + ... + y_n x_n \end{eqnarray}$ Damit würde ich nun sagen gilt: $\begin{eqnarray} H = I - 2\frac{vv^T}{v^Tv} = H = I^T - 2\left(\frac{vv^T}{v^Tv}\right)^T = H^T \end{eqnarray}$ Ist das so richtig gedacht? Danke für kommende Antworten!
14.07.2020, 12:14	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie der Householdertransformation Hat Niemand eine Idee , oder ist meine Frage unklar?
14.07.2020, 12:25	blafasel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie der Householdertransformation Das erscheint mir alles reichlich kompliziert gedacht. Ist für zwei beliebige Matrizen $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ das Produkt $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ definiert, dann ist doch $\begin{eqnarray} (AB)^T=B^TA^T \end{eqnarray}$ . Das muss man nur auf $\begin{eqnarray} A=v, B=v^T \end{eqnarray}$ anwenden. Den Skalar $\begin{eqnarray} v^Tv \end{eqnarray}$ kann man transponieren, muss man aber nicht

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