Laurentreihe

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03.07.2020, 17:18

Susanno95

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Laurentreihe

Guten Tag Leute Wink

ihr habt mir schon die letzten Wochen so viel geholfen , dafür erstmal Dankeschön. Gott

Ich habe nun eine Aufgabe zum Thema Laurentreihen bekommen, die wie folgt lautet:

Berechnen Sie Laurentreihen von $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{4z-z^2}{(z+1)(z^2-4)} \end{eqnarray*}$ in den Kreisringen

(i) { $\begin{eqnarray*} {z \in \mathbb C : 1 < | z | < 2 } \end{eqnarray*}$ }
(ii) { $\begin{eqnarray*} {z \in \mathbb C : 2 < | z | } \end{eqnarray*}$ }
(iii) { $\begin{eqnarray*} {z \in \mathbb C : 0 < | z+1| < 1 } \end{eqnarray*}$ }

Meine Rechnung

Für die (i) und (ii) Ist mir das denk ich gelungen:
Wäre aber super ob ihr da mal trotzdem drüber gucken würdet Augenzwinkern

Als erstes hab ich eine Partialbruchzerlegung gemacht :

$\begin{eqnarray*} \frac{4z-z^2}{(z+1)(z^2-4)}=\frac{4z-z^2}{(z+1)(z+2)(z-2)}=\frac{A}{z+1} + \frac{B}{z+2} + \frac{C}{z-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 4z-z^2= A(z+2)(z-2) + B(z+1)(z-2)+C(z+1)(z+2) \end{eqnarray*}$
Einsetzen von den Nullstellem $\begin{eqnarray*} z=-1,2,-2 \end{eqnarray*}$ liefert das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -5 \\ -12 \\ 4 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -3A \\ 4B \\ 12C \end{vmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} A=\frac{5}{3} \\ B=-3 \\ C=\frac{1}{3} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt Partialbruchzerlegung ist: $\begin{eqnarray*} \frac{4z-z^2}{(z+1)(z+2)(z-2)}=\frac{\frac{5}{3}}{z+1} + \frac{-3}{z+2} + \frac{\frac{1}{3}}{z-2} \end{eqnarray*}$

Ich definiere jetzt den ersten Summanden als $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , dem zweiten als $\begin{eqnarray*} II \end{eqnarray*}$ und den dritten als $\begin{eqnarray*} III \end{eqnarray*}$

zur (i)

I $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \frac{1}{z+1} = \frac{5}{3} \frac{1}{z} \frac{1}{1+\frac{1}{z} } = \frac{5}{3} \frac{1}{z} \frac{1}{1--\frac{1}{z} } = \frac{5}{3} \frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{z})^n= \frac{5}{3} \frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1^n}{z^n}=\frac{5}{3} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{z^{n+1}} \end{eqnarray*}$

konvergiert für $\begin{eqnarray*} \left[\frac{-1}{z}\right] <1 \Leftrightarrow 1<\left[z\right] \end{eqnarray*}$

II $\begin{eqnarray*} 3\frac{1}{z+2} = 3 \frac{1}{2}\frac{1}{\frac{z}{2} +1} = 3 \frac{1}{2}\frac{1}{1+\frac{z}{2} } =3 \frac{1}{2}\frac{1}{1--\frac{z}{2} }=3 \frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-\frac{z}{2})^n= 3 \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(\frac{z^n}{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$
konervgiert für $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1 \Leftrightarrow \left[z\right] <2 \end{eqnarray*}$

III $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\frac{1}{z-2} = \frac{1}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{z}{2} -1} = -\frac{1}{3} \frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2} } =-\frac{1}{3} \frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{z}{2})^n= - \frac{1}{3} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{z^n}{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

konvergiert für $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}| <1 \Leftrightarrow |z | <2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \frac{5}{3} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{z^{n+1}}- 3 \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(\frac{z^n}{2^{n+1}})+- \frac{1}{3} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{z^n}{2^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

(ii)

I $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \frac{1}{z+1} = \frac{5}{3}\frac{1}{z}\frac{1}{1+\frac{1}{z}} = \frac{5}{3}\frac{1}{z}\frac{1}{1--\frac{1}{z}} =\frac{5}{3}\frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{z})^n= \frac{5}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(\frac{1}{z^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

konvergiert für $\begin{eqnarray*} |\frac{-1}{z}|<1 \Leftrightarrow 1 < | z| \end{eqnarray*}$ Ich weiß das passt nicht wie bekomme ich hier 2 < $\begin{eqnarray*} | z| \end{eqnarray*}$ hin?

II $\begin{eqnarray*} 3\frac{1}{z+2} = 3 \frac{1}{z}\frac{1}{1+\frac{2}{z} } = 3 \frac{1}{z}\frac{1}{1+\frac{2}{z} } =3 \frac{1}{z}\frac{1}{1--\frac{2}{z} }=3 \frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-\frac{2}{z})^n= 3 \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n(\frac{2^n}{z^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

konvergiert für $\begin{eqnarray*} |\frac{2}{z} | <1 \leftrightarrow 2 < |z| \end{eqnarray*}$

(III) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\frac{1}{z-2} = \frac{1}{3}\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{2}{z} } = \frac{1}{3} \frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{2}{z} } =\frac{1}{3} \frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{z})^n= \frac{1}{3} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{2^n}{z^{n+1}}) \end{eqnarray*}$

konvergiert für $\begin{eqnarray*} |\frac{2}{z}| <1 \Leftrightarrow 2 < | z | \end{eqnarray*}$

(iii) kann mir wer da helfen? bzw ansätze geben?

Danke euch schonmal

lg Susanno95

03.07.2020, 20:34

Huggy

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RE: Laurentreihe

Zitat:

Original von Susanno95
konvergiert für $\begin{eqnarray*} |\frac{-1}{z}|<1 \Leftrightarrow 1 < | z| \end{eqnarray*}$ Ich weiß das passt nicht wie bekomme ich hier 2 < $\begin{eqnarray*} | z| \end{eqnarray*}$ hin?

Wenn die Reihe für alle $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, konvergiert sie doch auch für alle $\begin{eqnarray*} |z|>2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

(iii) kann mir wer da helfen? bzw ansätze geben?

Setze $\begin{eqnarray*} z+1=w \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {z+1}=\frac 1 w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {z+2}=\frac 1 {w+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {z-2}=\frac 1 {w-3} \end{eqnarray*}$

Bestimme die Laurentreihe in der Variablen $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0< |w| <1 \end{eqnarray*}$ . Danach kannst du $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ wieder durch $\begin{eqnarray*} z+1 \end{eqnarray*}$ ersetzen.

03.07.2020, 22:41

Susanno95

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Danke schonmal Huggy,

ist der Rest von der Aufgabe erstmal richtig?

So ich habe dann:
I $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \frac{1}{w}=\frac{5}{3} w^{-1}? \end{eqnarray*}$

II $\begin{eqnarray*} 3\frac{1}{z+2}=3\frac{1}{w+1}=3\frac{1}{1+w}=3\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-w)^n=3 \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-(z+1))^n \end{eqnarray*}$

konvergiert für $\begin{eqnarray*} |z+1|<1 \end{eqnarray*}$

III $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\frac{1}{z-2}=\frac{1}{3}\frac{1}{w-3}=\frac{1}{3}\frac{1}{3} \frac{1}{\frac{w}{3}-1}=-\frac{1}{9} \frac{1}{1-\frac{w}{3}}<br /> =-\frac{1}{9} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{w}{3})^n=-\frac{1}{3} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(z+1)^n}{3^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? und wie mach ich das bei I?

danke dir .. bin so dankbar

04.07.2020, 07:35

Huggy

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Zitat:

Original von Susanno95
Stimmt das?

Ja.

Zitat:

und wie mach ich das bei I?

Da ist nichts zu machen. Die Reihe besteht nur aus einem Term und der "konvergiert" offensichtlich für alle $\begin{eqnarray*} |w|>0 \end{eqnarray*}$ .

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