Geometrische Vielfalt Operator

04.07.2020, 11:06

matix

Geometrische Vielfalt Operator

Meine Frage:
Hallo,
kann mir jemand bitte bei folgender Aufgabe helfen?

Meine Ideen:
also bei a) muss ich ja $\begin{eqnarray*} dim(ker(K-\lambda I)) \end{eqnarray*}$ berechnen:
Habe $\begin{eqnarray*} (K-\lambda I)(x)=\alpha_{k} x_{k} -\frac{1}{j} x_{k} \end{eqnarray*}$
das ist 0, wenn $\begin{eqnarray*} x_{k}=0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_{k}\neq 0} \end{eqnarray*}$ : dann muss $\begin{eqnarray*} \alpha_{k}=\frac{1}{j} \end{eqnarray*}$
jetzt komme ich nicht mehr weiter, beide liegen doch im Kern oder? Also wäre doch die Dimension 2 oder?

04.07.2020, 11:09

matix

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RE: Geometrische Vielfalt Operator
Sorry hier nochmal alles nun vollständig:

also bei a) muss ich ja $\begin{eqnarray*} dim(ker(K-\lambda I)) \end{eqnarray*}$ berechnen:
Habe $\begin{eqnarray*} (K-\lambda I)(x)=\alpha_{k} x_{k} -\frac{1}{j} x_{k} \end{eqnarray*}$

das ist 0, wenn $\begin{eqnarray*} x_{k}=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_{k}\neq 0 \end{eqnarray*}$ : dann muss $\begin{eqnarray*} \alpha_{k}=\frac{1}{j} \end{eqnarray*}$
jetzt komme ich nicht mehr weiter, beide liegen doch im Kern oder? Also wäre doch die Dimension 2 oder?

04.07.2020, 12:09

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RE: Geometrische Vielfalt Operator
Welche beiden liegen im Kern? Was meinst du damit?

Deine Schreibweise
$\begin{eqnarray*} (K-\lambda I)(x)=\alpha_{k} x_{k} -\frac{1}{j} x_{k} \end{eqnarray*}$
ist übrigens nicht korrekt. Linkst steht eine Folge, rechts eine Zahl.

Ansonsten musst du dir überlegen, für wie viele k die Beziehung $\begin{eqnarray*} \alpha_k=\frac 1 j \end{eqnarray*}$ gilt und das kann man direkt aus der Definition der Folge $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ablesen.

04.07.2020, 12:33

matix

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RE: Geometrische Vielfalt Operator
Danke für den Hinweis. $\begin{eqnarray*} (K-\lambda I)x_{k}=\alpha _{k}x_{k} -\frac{1}{j} x_{k} \end{eqnarray*}$ wäre das so richtig?
Dann habe ich $\begin{eqnarray*} ker(K-\lambda I)=\left\{ x_{k}=0; x_{k}\neq 0: \alpha_{k}=\frac{1}{j} \right\} \end{eqnarray*}$
und für alle k gilt doch: $\begin{eqnarray*} \alpha_{k}=\frac{1}{j} \end{eqnarray*}$ oder denke ich falsch?

04.07.2020, 17:47

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RE: Geometrische Vielfalt Operator
Es geht ja nicht um einen beliebigen Eigenwert sondern um die Vielfachheit des Eigenwertes $\begin{eqnarray*} \lambda_j=\frac 1 j \end{eqnarray*}$ . Also schreibt man besser $\begin{eqnarray*} \lambda_j \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .
Dann fände ich $\begin{eqnarray*} ((K-\lambda_j I)(x))_k=\alpha _k x_k-\frac 1 \lambda_j x_k \end{eqnarray*}$ präziser.
Oder sowas wie $\begin{eqnarray*} (K-\lambda_j I)(x)=(\alpha _k x_k-\frac 1 \lambda_j x_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ , also auf beiden Seiten eine Folge.
Deine Mengenbeschreibung des Kerns ist mir reichlich unklar. Was soll die strichpunktgetrennte Aufzählung von Eigenschaften bedeuten? Entweder-oder? Mal so mal so?

Zitat:

für alle k gilt doch: $\begin{eqnarray*} \alpha_k=\frac 1 j \end{eqnarray*}$

ist doch offensichtlich falsch.
$\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ist eine feste Zahl, z.B. $\begin{eqnarray*} j=2 \end{eqnarray*}$ . Für welche $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \alpha_k = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ?

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