Prüfen auf Extrema ohne Ableitungen

05.07.2020, 21:23	Mr Krabs	Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfen auf Extrema ohne Ableitungen Meine Frage: Wie überprüfe ich eine Funktion auf Extrema ohne die Ableitungen zu benutzen ? Meine Ideen: Wenn eine Funktion zb. monoton wäre, dann hätte sie ja kein Extrema. Ist das eine gute Argumentation ? Wie sieht es aus wenn sie jedoch eine Extremstelle hat ? Wie argumentiert man da? Als Beispiel hab ich hier eine Aufgabe. Die hat glaube ich ein Maximum zwischen 1 und 2.
05.07.2020, 21:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Die Funktion ist wegen des Definitionsbereichs nur positiver Werte fähig. 2. $\begin{align} f(x) \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to \infty \end{align}$ Das sollte als Argumentationshilfe genügen.
05.07.2020, 21:53	Mr Krabss	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Das ist mir auch schon aufgefallen, aber ich sehe die Verbindung nicht, wie soll mir das weiterhelfen? Wie kann ich daran erkennen, dass die Funktion eine Extremstelle besitzt?
05.07.2020, 22:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} f(1) = 1{,}75 \end{align}$ . Wenn die Funktion ein Maximum besitzt, muß es daher mindestens $\begin{align} 1{,}75 \end{align}$ sein. Wegen 2. gibt es ein $\begin{align} C>1 \end{align}$ mit $\begin{align} f(x) < 0{,}05072020 \end{align}$ für $\begin{align} x>C \end{align}$ . Im kompakten Intervall $\begin{align} [1,C] \end{align}$ nimmt $\begin{align} f \end{align}$ ein Maximum $\begin{align} \geq 1{,}75 \end{align}$ an, etwa bei $\begin{align} x_0 \in [1,C] \end{align}$ . Sammeln wir also auf: (i) $\begin{align} f(x) \leq f(x_0) \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in [1,C] \end{align}$ (ii) $\begin{align} f(x) < 0{,}05072020 < 1{,}75 \leq f(x_0) \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in (C,\infty) \end{align}$ Zusammen also $\begin{align} f(x) \leq f(x_0) \ \ \mbox{für alle} \ \ x \in [1,\infty) \end{align}$

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