Diophantische Gleichung

06.07.2020, 10:52

Dopap

Diophantische Gleichung

Löse die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 3^x =7^y+2\quad x,y\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

damit sind üblicherweise alle Lösungen gemeint.

1.) Wenn nicht, dann ist genau eine Lösung easy: x=2, y=1 falls die Grundmenge {1,2,3,...}
2.) Wenn {0,1,2,...} gemeint ist, wäre x=1,y=0 noch ein Kandidat.

Zur wichtigeren Frage nach weiteren Lösungen kann der TR vorerst nichts beitragen, was aber naturgemäß nix zu bedeuten hat.

06.07.2020, 11:09

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Diophantische Gleichung
Nur eine Idee: Es ist $\begin{eqnarray*} 3^x\equiv 2 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ und 3 ist Primitivwurzel mod 7.

06.07.2020, 12:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Diophantische Gleichung
Die richtige Idee, wie man die mutmaßliche Behauptung "es gibt keine weiteren als die genannten trivialen Lösungen" nachweist habe ich nicht. Über reine Modulo-Betrachtungen lassen sich allenfalls die Bedingungen an die Exponenten schnell in schwindlige Höhen hochschaukeln, in der Weise

$\begin{eqnarray*} x\equiv 2\bmod 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y\equiv 1\bmod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\equiv 1076\bmod 6\cdot 7^3 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} y\geq 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y\equiv 346\bmod 3^7 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x\geq 8 \end{eqnarray*}$
...

aber das ist vermutlich nicht zielführend. Dazu bedarf es wohl eines anderen, cleveren Schachzugs. verwirrt

06.07.2020, 12:42

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Diophantische Gleichung
Vielleicht hilft die Betrachtung mod 5: $\begin{eqnarray*} 2^x\equiv 2^y+2 \bmod 5 \end{eqnarray*}$ (weil x gerade ist)
Edit: Das beschert einem in der Tat y=1

06.07.2020, 13:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von URL
Edit: Das beschert einem in der Tat y=1

Da komme ich nicht mit. verwirrt

06.07.2020, 13:23

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte links Zweierpotenz dann auch rechts und vor lauter Begeisterung mod 5 vergessen Forum Kloppe

Pardon!

06.07.2020, 13:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Modulo 4 bekommt man heraus. dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ungerade sein muss. Insofern kann man die von mir oben genannten Kongruenzen noch zu

$\begin{eqnarray*} y\equiv 1\bmod 6 \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} y\equiv 2533\bmod 2\cdot 3^7 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x\geq 8 \end{eqnarray*}$

verfeinern. Natürlich auch keine Revolution auf dem Weg zur wirklichen Lösung.

06.07.2020, 13:58

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Die offizielle Lösung:
[attach]51645[/attach]

06.07.2020, 14:12

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathema: Welcher Wettbewerb war das?

06.07.2020, 14:25

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist VAIMO 2010 (Vorauswahlklausur IMO):

https://www.mathe-wettbewerbe.de/imo/imo...-aufgabenarchiv

Die Bemerkung lässt ja schon auf den Schwierigkeitsgrad schließen, da 2010 z.B. auch Lisa Sauermann mitgeschrieben hat:

https://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=15545

06.07.2020, 16:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, da war mein $\begin{eqnarray*} y\equiv 1076\bmod 6\cdot 7^3 \end{eqnarray*}$ ja nicht ganz umsonst, wenn auch "oversized", das $\begin{eqnarray*} y\equiv 26\bmod 42 \end{eqnarray*}$ folgt ja daraus.

$\begin{eqnarray*} 7^3 \equiv -1\bmod 43 \end{eqnarray*}$ und damit Modul 43 ist also der Schlüssel, ja hinterher ist man immer schlauer. Oder man hat ein so phantastisches Zahlenverständnis, das tatsächlich zu sehen. smile

P.S.: Auch bemerkenswert ist das "gewusst WO" von Mathema. Vielen Dank fürs Heraussuchen! Freude

EDIT (7.7.20): Dopap scheint sich mittlerweile in einer Rolle zu sehen, dass er irgendwelche mehr oder weniger interessante Problemstellungen postet, von denen er vorgibt, die Lösung nicht zu kennen.

Im weiteren Verlauf ist dann aber oft nicht mehr erkennbar, dass er irgendwelches Interesse an der Lösung zeigt. Anfangs fand ich das noch seltsam, mittlerweile habe ich mich aber dran gewöhnt. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Diophantische Gleichung

Verwandte Themen