Gleichungssystem lösen mit Sinus

06.07.2020, 15:29

Gradient

Gleichungssystem lösen mit Sinus

Meine Frage:
Guten Tag habe eine Frage bezüglich der Lösung eines Gleichungssystems:
Ich sollte die Funktion f(x,y,z) = cos(x) + cos(y) + cos(z) auf Extrema untersuchen.
Habe die drei partiellen Ableitungen -sin(x), -sin(y), -sin(z) gebildet und gleich null gesetzt, dass bringt mich zu folgendem GLS:
I: -sin(x) = 0
II: -sin(y) = 0
III: -sin(z) = 0
Nun meine Frage, wie löse ich das, um meine kritischen Punkte zu bekommen, weil theoretisch gibt es ja unendlich viele Lösungen oder?

Meine Ideen:
Der Sinus ist nun mal 2pi-periodisch und außerdem sin(0) = 0. Nur wie bringt mich das weiter?

Danke schonmal und liebe Grüße!

06.07.2020, 16:11

Ulrich Ruhnau

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RE: Gleichungssystem lösen mit Sinus

Zitat:

Original von Gradient
Ich sollte die Funktion f(x,y,z) = cos(x) + cos(y) + cos(z) auf Extrema untersuchen.

Lokale Maximas gibt es also bei $\begin{eqnarray*} x=2n\pi, y=2m\pi, z=2k\pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n,m,k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
Die Minnimas müssen also dazwischen liegen. Auch Sattelpunkte sind möglich.
Alles ist $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch.

06.07.2020, 16:22

Gradient

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Also lage ich ja schonmal richtig, dass meine Funktion f unendlich viele kritsche Punkte und unendlich viele Extrema hat. Nun wie argumentiere ich dann, reicht das was du geschrieben hast?
Und wie darf ich mir Sattelpunkte im Mehrdimensionalen vorstellen? Ich meine Wendepunkte, Hoch- und Tiefpunkte sind klar, nur Sattelpunkte bei der Funktion kann ich mir nicht recht vorstellen.

06.07.2020, 16:30

Ulrich Ruhnau

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Das mit den Sattelpunkten war nur eine Vermutung. Letztlich hängt das von der Definition ab. Vielleicht solltest Du erst einmal über die Lage der Minima nachdenken.
Was die Angabe der Extrema anbelangt, könnte man vielleicht auch über eine Mengenangabe nachdenken.

06.07.2020, 16:46

Gradient

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Also meine Minima liegen wie folgt, denke ich:
$\begin{eqnarray*} \left(x,y,z\right) ^{T} = \left(n\pi , m\pi , k\pi \right) \forall n,m,k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Meine Maxima:
$\begin{eqnarray*} \left(x,y,z\right) ^{T} = \left(2n\pi , 2m\pi , 2k\pi \right) \forall n,m,k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Nun habe ich ja zwei Mengen, kann ich dann sagen, dass die Mini bzw. Maxima in den jeweiligen Mengen liegen, aufgrund der Periodizität der Sinusfunktion?

06.07.2020, 16:57

HAL 9000

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Da hier wirklich eine so schön einfache additive Trennung $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = g_1(x)+g_2(y)+g_3(z) \end{eqnarray*}$ vorliegt ist klar, dass man das auf die drei eindimensionalen Probleme der Extrema von $\begin{eqnarray*} g_1,g_2,g_3 \end{eqnarray*}$ zurückführen kann. Und da das hier alles drei Kosinusfunktionen sind, deren Minma- und Maxima-Lagen wohl bekannt sind, kann man auch auf Differentialrechnung völlig verzichten. Die Maxima hat Ulrich Ruhnau bereits benannt, die Minima sind entsprechend

$\begin{eqnarray*} (x,y,z) = \left((2n+1)\pi,(2m+1)\pi,(2k+1)\pi\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n,m,k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

und die Sattelpunkte alle "anderen" $\begin{eqnarray*} \left(u\pi,v\pi,w\pi\right) \end{eqnarray*}$ mit ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ , welche weder sämtlich gerade noch sämtlich ungerade sind. Auf $\begin{eqnarray*} 2^3=8 \end{eqnarray*}$ Gitterpunkte im dreidimensionalen Gitter der Weite $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kommen damit sechs Sattelpunkte und jeweils ein Minimum- und Maximumpunkt.

06.07.2020, 17:10

Gradient

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Alles klar, ich danke euch! Dann argumentiere ich wie ihr beiden, mit der Mengenschreibweise und den drei eindimensionalen Problemen, vielen Dank! Augenzwinkern

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