Ziehen aus zwei Urnen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge |
| 06.07.2020, 16:36 | jonsnow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Ziehen aus zwei Urnen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge Man wählt zufällig aus zwei Urnen und zieht aus dieser Urne unabhängig zwei Kugeln mit Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge : 1. Urne: 1 rote und 4 blaue Kugeln 2. Urne: 4 rote und 2 blaue Kugeln a) Geben Sie (OMEGA,P) an. b) Geben Sie folgende Teilmengen von ? an: A: erste Urne wird gewählt B: erste Kugel ist blau C: zwei ungleiche Kugeln werden gezogen c) Berechnen Sie P(A), P(A\B) und P(B\A). d) Sind B und C stochastisch unabhängig? Sind A, B und C stochastisch unabhhängig? Meine Ideen: a) Geben Sie (OMEGA,P) an : (OMEGA,P) - Wahrscheinlichkeitsraum : OMEGA = {(rot,rot),(rot,blau),(blau,blau)} oder nicht ? Oder ist es einfach nur OMEGA = {R,B}, wobei R= Rot und B= Blau ? Oder ist es : OMEGA = { (U1,rot,rot),(U1,rot,blau),(U1,blau,rot),(U1,blau,blau),(U2,rot,rot),(U2,ro t,blau),(U2,blau,blau),(U2,blau,rot)}, was denke ich, das Richtige ist . Sprich : Ich weiß nicht, was genau in den Grundraum kommt, trotz gegebene Fragestellung. Zudem bin mir nicht sicher, ob den rot,blau und blau,rot in den Grundraum kommen sollte, da laut Aufgabe die Reihenfolge egal ist. P- Wahrscheinlichkeitsmaß : i) P(A) >= 0 ii) P(OMEGA) = 1 iii) Sind A1,A2 .... paarweise disjunkt, dann gilt sigma-Additivität ( entsprechende Formel ) Aber da mir der Grundraum nicht klar ist, bin ich mir nicht sicher was P ist. Ist P vielleicht : Anzahl der gesuchten Paare/ Anzahl der Gesamtpaare ? Teilmengen angeben b) Geben Sie folgende Teilmengen von OMEGA an: A: erste Urne wird gewählt : {(U1,rot,rot),(U1,rot,blau),(U1,blau,rot),(U1,blau,blau)} B: erste Kugel ist blau : {(U1,blau,blau),(U1,blau,rot),(U2,blau,blau),(U2,blau,rot)} C: zwei ungleiche Kugeln werden gezogen, was ich als Farbunterschied interpretiere : {(U1,rot,blau),(U1,blau,rot),(U2,rot,blau),(U2,blau,rot)} c) Berechnen Sie P(A), P(A\B) und P(B\A) : i) P(A): 4/8 = 1/2 ii) P(A\B): P(A) - P(AnB) = {(U1,rot,rot),(U1,rot,blau)} = 2/8 = 1/4 // wobei (AnB) = {(U1,blau,blau),(U1,blau,rot)} iii) P (B\A) : P(B) - P(AnB) = {(U2,blau,blau),(U2,blau,rot)} = 2/8 = 1/4 d) Sind B und C stochastisch unabhängig? Sind A, B und C stochastisch unabhhängig? Falls P(AnB) = P(A)*P(B) gilt, dann ist es unabhängig : - P(BnC) = 2/8 = 1/4 => 1/4 = P(B)*P(C) = 1/4*1/4 = 1/16 // Cancel -> B und C sind nicht unabhängig - P(AnBnC) = 1/8 => 1/8 = P(AnBnC) = 1/4*1/4*1/4 = 1/64 // Cancel -> A,B und C sind nicht unabhängig Letztlich weiß ich nicht, wo meine Fehler sind, da mir das Wissen für die Erkenntnis dazu leider momentan fehlt. a) Ungewissheit b) und c)Aufbauend auf meine Vermutung, sprich : Wenn a) falsch ist, dann ist alles falsch. d) Die Formel gilt ja so. Nur wenn der Grundraum etc. falsch ist, dann sind auch die Werte hierfür falsch. Ich erwarte keine Lösungen, aber ich bitte um Hilfe/Tipps ! Vielen Dank ! |
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| 06.07.2020, 18:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das ist besser. So kann der genaue Ziehungsablauf am Elementarereignis abgelesen werden, und so sollte es sein. Man kann sich ein wenig Schreibarbeit sparen, wenn man das als kartesisches Mengenprodukt schreibt: Entspricht haargenau jener 8-elementigen Menge an Tripeln, die du aufgeschrieben hast. 
Zu c) Leider ist das hier kein Laplacescher W-Raum, d.h., die einfache Formel "Anzahl günstig / Gesamtanzahl" funktioniert hier nicht. Das hätte nur geklappt, wenn in beiden Urnen jeweils gleich viele rote wie blaue Kugeln gewesen wären. So müssen wir uns den Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse einzeln widmen, basierend auf den vorgefundenen Anzahlen und unter der Annahme, dass jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird: ... ... Bei d) und der Unabhängigkeit zweier Ereignisse liegst du richtig. Bei drei und mehr Ereignissen ist zu beachten, dass diese Formel "Wahrscheinlichkeit Durchschnitt = Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten" nicht nur für den Durchschnitt aller drei Ereignisse zu prüfen ist, sondern auch für die JEDE Auswahl von zwei dieser drei Ereignisse!
In dieser Kombination ist das übrigens Nonsens: Wenn man so ein Ereignis betrachten will, in dem es essentiell um die Reihenfolge der Ziehung geht, dann kann man nicht von der Prämisse ausgehen, dass dem nicht so ist! Umgekehrt geht es, denn die Information über die Ziehungsreihenfolge muss man ja bei gewissen Ereignissen nicht kennen, aber so rum wie hier klappt das nicht. 
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| 06.07.2020, 18:41 | jonsnow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alles klar ! Danke sehr ! Und ja genau. Deshalb war ich auch so verwirrt wegen der " Keine Berücksichtung der Reihenfolge " und " ERSTE Kugel ist blau", weshalb ich beim Grundraum so lange hing. Aber so liegt die Aufgabe vor mir... Wahrscheinlich ist beim Copy Pasten des jeweiligen Tutoren was schief gegangen
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