Wahrscheinlichkeitsraum Definition

06.07.2020, 17:02

jonsnow

Wahrscheinlichkeitsraum Definition

Meine Frage:
Moin,

es geht um den Wahrscheinlichkeitsraum der als (OMEGA,sigma-Algebra,P) bezeichnet wird.

Neben den ganzen Definitionen und Eigenschaften, die in meinen Slides leicht "kryptisch" stehen, möchte hier gerne für mein Verständnis etwas nachhacken :

Meine Ideen:

- Groß-Omega ist der Grundraum. Da kommen alle möglichen Ergebnisse eines
Zufallsexperimentes rein.

- Ereignisse sind Mengen von Ergebnissen.

- Um Ereignisse eine Wahrscheinlichkeit zuorden zu können, muss man zuerst die
Sigma-Algebra voraussetzen, da nicht jedes Ereignis A von OMEGA aus
tiefliegenden mathematischen Problemen eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann.

- Dementsprechend stehen halt in den VL-Folien die ganzen Eigenschaften des
Sigma- Algebras, die ich nachvollziehen kann.

- Meist gilt bei endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen, dass P(OMEGA) = Sigma-Algebra, was dann
bedeutet, dass die Menge aller Teilmengen von OMEGA eine WK zugeordnet werden kann.

- Wenn OMEGA und Sigma-Algebra gegeben ist, spricht man von einem Ereignisraum.

- Nun will man auch den Ereignissen tatsächliche WK'en zuordnen, weshalb das
Wahrscheinlichkeitsmaß hinzukommt.

- Mit P: Sigma-Algebra -> [0,1] soll gezeigt werden, dass den Ereignissen, die durch das Sigma-
Algebra auch WK's zugeordnet werden kann, nun auch WK's zugeordnet wird.

- P(OMEGA) = 1 , P(leere Menge) = 0 und Sigma-Additivität sind dann logische Konsequenzen der
Anwendung des WK-Maß.

- Dann handelt es sich nicht mehr nur um ein Ereignisraum, sondern um ein
Wahrscheinlichkeitsraum.

Ist das korrekt ?

06.07.2020, 17:17

HAL 9000

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Zitat:

- Um Ereignisse eine Wahrscheinlichkeit zuorden zu können, muss man zuerst die Sigma-Algebra voraussetzen, da nicht jedes Ereignis A von OMEGA aus tiefliegenden mathematischen Problemen eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann,

Hier beginnt schleichend eine unzulässige Vermischung der Begriffe: In $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ liegen nicht die Ereignisse, sondern (wie du weiter oben richtig gesagt hattest) quasi die Ergebnisse der Zufallsexperimente, auch Elementarereignisse genannt.

In den meisten anzutreffenden W-Räumen kann man diesen Elementarereignissen Wahrscheinlichkeiten zuweisen, aber strenggenommen wird dies im allgemeinen Modell nicht gefordert. Aber selbst wenn man das kann, ist das bei überabzählbaren $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ (wie beispielsweise dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ reeller Zahlen) nicht ausreichend:

Wenn wir beispielsweise das Längenmaß da als $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nehmen, dann ist $\begin{eqnarray*} P(\{\omega\})=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in [0,1] \end{eqnarray*}$ zwar richtig, aber nicht ausreichend, um $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ komplett zu beschreiben.

Andererseits können viele Maße aber auch nicht für alle Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ angegeben werden, z.B. auch nicht jenes Längenmaß. Das ist der der Grund, warum man überhaupt diesen Zirkus mit den Sigma-Algebren veranstaltet, dass man eben trotz dieser Schwierigkeiten doch noch eine saubere Theorie aufstellen kann, so dass man möglichst vielen Ereignisse (= Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ) eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann selbst in dem Fall, wo diese nicht für alle möglich ist.

Im Falle endlicher oder abzählbarer W-Räume liegt i.d.R. der einfache Fall vor, dass doch alle Teilmengen Ereignisse sind, somit die Sigma-Algebra gleich der Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ entspricht. Deswegen muss man nun aber das Gebäude auch in diesem Fall nicht gleich einreißen - das fügt sich eben als einfacher Spezialfall in die umfassendere Theorie schön ein. smile

P.S.: Ausgenommen die kleine Korrektur oben hast du es aber mit deinen Beschreibungen recht gut getroffen. Freude

06.07.2020, 17:38

jonsnow

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ok, danke dir !

Ich bin neu hier auf dem Forum und habe auch vorher eine Frage gestellt.

Es geht um Urnen. Ich habe diese subjektiv gelöst, jedoch weiß ich nicht ob diese objektiv "richtig" sind.

Besonders bei Fragestellungen, die komplexer gestellt sind, als eine typisches 0815 Beispiel, wie ein Würfenwurf oder nur eine Urne statt mehrere, weiß nicht genau, was in den Grundraum OMEGA reinkommen soll.

Könntest du mir da helfen ?

06.07.2020, 21:32

Leopold

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Das Ziehen aus Urnen mit und ohne Zurücklegen läßt sich gut an Bäumen modellieren.
Um diese Bäumchen-Geschichte der allgemeinen Theorie unterzuordnen, kannst du als Ergebnisse des Zufallsexperiments die Pfade $\begin{align*} \omega \end{align*}$ des Baumes betrachten. Alle diese Pfade bilden den Ergebnisraum $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ . Und die Wahrscheinlichkeit eines Pfades wird nach der 1. Pfadregel berechnet:

$\begin{align*} P(\omega) = \text{Produkt der bedingten Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades} \ \omega \end{align*}$

Wenn man ganz genau ist, müßte man sogar $\begin{align*} P(\{ \omega \}) \end{align*}$ schreiben. Ich spare mir aber diese Klammern, wie man das ja später auch bei $\begin{align*} P \left( \{ X = k \} \right) \end{align*}$ macht, wo man einfach $\begin{align*} P(X=k) \end{align*}$ schreibt. Und $\begin{align*} X=k \end{align*}$ selbst ist ja auch schon eine Abkürzung für ... nun ja, die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist voll von solchen Schreibweisen. Manchmal muß man pingelig, oft darf man großzügig sein.

Ein Beispiel.

In einer Urne sind 1 rote (r), 2 schwarze (s) und 3 blaue (b) Kugeln. Man zieht drei Kugeln ohne Zurücklegen. Man modelliere das Zufallsexperiment.

$\begin{align*} \Omega \end{align*}$ besteht aus 19 Pfaden:

$\begin{align*} \Omega = \left\{ \text{rss, rsb, rbs, rbb, srs, srb, ssr, ssb, sbr, sbs, sbb, brs, brb, bsr, bss, bsb, bbr, bbs, bbb} \right\} \end{align*}$

Es gilt zum Beispiel

$\begin{align*} P(\text{srs}) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} \end{align*}$

$\begin{align*} P(\text{bsr}) = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \end{align*}$

07.07.2020, 22:53

Mathematiger

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RE: Wahrscheinlichkeitsraum Definition
Hallo jonsnow,

ich habe mich einmal rangesetzt und dir an Hand eines Beispiels gezeigt, wie du die Aufgabe mit Hilfe eines Baumdiagrammes lösen kannst.

Hinweis: Das folgende Bild ist mathematisch gesehen von der Schreibweise her vielleicht nicht ganz richtig, soll dem Ersteller dieses Threads nur zeigen, wie man es berechnen kann.

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